Considérons maintenant une expression de la forme
F (x)/:*); son logarithme est
/(x)logF(x),
et rentre dans une expression que nous avons examinée. Si donc on peut déterminer par les règles précédentes la vraie valeur de ce logarithme, dans le cas singulier où les fonctions log F [x) eif[x) seraient Tune infinie et Fautre nulle, on en conclura immédiatement celle de Texpression proposée.
Examinons en particulier l'expression
dans le cas de ar= oo , et supposant F (oo ) r=: oo . Le logarithme de cette expression est
logFW ,
et sa limite est celle de —j-^) que Ton peut traiter par les
règles précédentes.
,, . , ,, ,. , loi' F (.r , , , .1..
Mais si 1 on applique a ^— la règle particulière
du n^ 212, on trouvera que sa limite est la mênl(^ que
celle de
logF(^4-i)-logF(^), ou \o^lSf^.
Donc la limite de F (x)' est la même que celle de
, , , • quand x devient infini. Celte rèele avait encore
été démontrée par M. Cauchy.
Si l'on a F (00 ) = o, on posera
Mais (p ( 00 ) = ûo , donc
lim.,G.)'=.lim. ^i^
et
,i^.F(..}i=lim.-îi^ = lim.^("-^'^
(p(^-M) F(jc)
215, L'application de ces diverses règles conduit à quelques résultats particuliers qui méritent d'être remarqués :
— =: 00 pour 07 = 00 si 1 on a « > 1 .
^ loff .r
— 2— =. o pour X = 00 ,
j; log j: == o pour a; = o , ,re^ =. 00 pour o: = o ,
•r^rr I pour 0;=^ 00 ,
( A jc^-f B x'"-' -H ... -I- Il j"^ = I pour ^ ~ 00 , .i*r=: I pour j: = o,
( cos///.r)^" 1=: 1 pour .r m o , [i-{- œY =z e pour o: =: o .
Série de Taylor pour les fonctions d'une seule variable»
216. La série que nous allons faire connaître a pour objet de développer une fonction quelconque de la somme x-\-h suivant les puissances entières et positives de l'une des parties, par exemple de A; elle a été découverte par Taylor, et a conservé le nom de son inventeur. Maclaurin en a déduit une autre qui donne le dcv€^loppement d'une fonction suivant les puissances de la variable, et qui a été employée avant lui par Slirling. Il suffit, en effet, de faire x=:o dans la première pour obtenir le développement d'une fonction de la variable h suivant les puissances de II. Cette série de Maclaurin n'est doue qu'un cas particulier de celle de Taylor, et c'est pour cela qu'on la désigne ordinairement sous le même nom.
Soit F [x-hh) la fonction qu'il s'agit de développer suivant les puissances entières et positives de /i.
Commençons par écrire un nombre quelconque n des termes déduits suivant la même loi que si la fonction était entière et rationnelle, et désignons par y (A) la fonction de x et de A, qui, ajoutée à ces termes, reproduit F [x + li) : nous aurons
Les dérivées des deux membres par rapport à h étant nécessairement identiques, on reconnaît sans peine que f[h) et ses [n — i) premières dérivées deviennent nulles pour A = o , et que
Donr, d'après une formule démontrée précédemment , on
aura
fi h \ —
JK"-)— j
et, par suite,
Cette formule donne la solution de la question , et montre, dans quel cas elle est possible. En effet, si l'expression
tend vers zéro à mesure que n augmente, F (j: -{-//) est la limite de la série
et l'on peut poser la formule suivante, qui est celle de Taylor :
t F (x -f- A ) = F (^) -h // F' {x) H- -- F'' (or) -h . . . (2) <
Mais il faut bien faire attention que , d'après la formule sur laquelle est fondée cette série, elle ne peut être substituée à F(xH-//) que lorsque F (a:) et toutes ses dérivées sont
continues entre x et a: -|- A, et que F" (a?-f-9 /iV
lend vers zéro quand n croît indéfiniment.
La fonction F [x-\-li) ne peut être développée suivant
les puissances de h autrement que par la formule (2) -, car
deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances
entières et positives d'une même variable, et dont les sommes sont égales , quelle que soit la valeur de cette val'iable, sont les mêmes, terme pour terme.
