Il est facile de reconnaître que le terme

F-for + e/i),

qui donne la valeur exacte du reste de la série , après les // premiers termes, tend vers zéro toutes les fois que F" (a:) reste fini, lorsque n augmente indéfiniment : et

pour cela il suffit de faire voir que tend vers

zéro quel que soit A. En ellct, quand n aura dépassé la valeur de A, et qu'on l'augmentera indéfiniment, l'expres-

si on sera multipliée par les fractions

^î-'-î qui diminuent de plus en plus. Mais quand

même elles resteraient égales à la première, qui est plus petite que l'unité, on sait que le produit aurait pour li-

mite zéro. Donc il en est de même de quand n

croîtra indéfiniment^ et la série de Taylor peut être employée lors([ue F (x) et loules ses dérivées sont continues et finies entre x et jr-hA.

Limites de Veneur. — La formule (i) a l'avantage de donner des limites de l'erreur commise en s'arrêlant à un terme quelconque de la série de Taylor. En effet, si l'on prend les n premiers termes, la quantité exacte qu il faudrait y ajouter pour obtenir ¥[x-{-h) est

F"(x + 0/i). Si donc on désifi;ne par A et B la

plus petite et la plus grande valeur que pieud F"(jr)

<|uaud X passe par toutes les valeurs, de x à x-^/i^ l'er-

2g6 LIVRE H.

reur commise en prenant les n premiers termes de la série

A A" . B A" sera plus grande que -, et plus petite que