La formule

n'exige aucune, condition relative aux dérivées d'un ordre supérieur au /i'^'"*. Ces dernières pourraient être discontinues dans l'intervalle de x à x-4-A, sans que la formule cessât d'être exacte. Ainsi ce développement peut être exact quand on l'arrête à un certain terme, et devenir inexact si l'on voulait le pousser au delà. Supposons, par exemple, que l'on ait

m étant un nombre entier positif, et - compris entre o

et I . Si l'on considère pour x la valeur particulière 0*0? les dérivées seront finies jusqu'à F'" [xq) inclusivement, en supposant que celles AGf[x) et ^ [oc) le soient; mais au delà elles deviendront infinies. Le développement ne devra donc être poussé que jusqu'au terme

F"' * (Xo) tout au plus: et il pourra être

complété au moyen d'un terme renfermant la dérivée suivante.

219. Dév>eloppement deF{x). — Sij, dans la formule (i) , on fait.r=o, et qu'on remplace ensuite la

lettre h par la lettre x, on obtient

On peut ainsi développer une fonction de x suivant les puissances de a:, pourvu que cette fonction et ses dérivées jusqu'à Tordre w soient continues entre o et je. Si, à mesure

fin

([ue n augmente indéflni ment, l'expression F" {Bx)

tend, vers zéro, la fonction F (x) pourra ôtre exprimée par la formule

('est-à-dire que la limite de la somme dos termes du second membre est F (x). Celte dernière formule est celle de Maclaurin.

Si on l'avait obtenue avant celle de Taylor, on en déduirait celle-ci en considérant F(jr+A) comme une fonction de h et la développant par la formule de Maclaurin.

Formule pliis générale. — On peut encore développer F (.r) d'après la formule de Taylor, en remplaçant X par Xq-}-(x — Xo)\ on trouve ainsi

F(.r):3zF(^o)-^(^'-.ro)F(^o)+^'^7r'''^''^^'''"^"^'-->

et l'on peut toujours choisir Xq de telle sorte que F [xq) , F' (xo) , etc., ne soient pas infinies. Mais cela ne suffira pas , et il faudra toujours s'assurer que le reste de la série, dont nous connaissons l'expression, a pour limite o. u4utre formule. — Enfin la série de Taylor a conduit

298 LIVRÏ II.

BernouUi à une autre forme de développement peu employée. Si l'on y suppose /i = — x, elle devient

F(o) = F(x)-xF'(.r) + -flF"(x)--^3F"'(^)4-...,

d'où

(5)F(.r)=F(o)+xF'(^)--^F"(x)+7^F"'(^)— •-

Les coefficients des différentes puissances de x sont eux-mêmes des fonctions de .r^ de sorte que l'ou ne trouve pas dans ce développement le principal avantage que Ton cherche, qui est de remplacer la fonction par un polynôme entier et rationnel. On s'assurerait de son exactitude, comm^ dans les formules précédentes,

220. Il faut bien se garder de croire que les séries de Taylor et de Maclaurin puissent être employées toutes les fois qu'elles sont convergentes 5 car elles pourraient converger vers d'autres limites que les fonctions qu'elles 4ev raient représenter.

Ainsi, par exemple, la fonction a "^ devienlnulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour x=o, et cependant elle n'est pas identiquement nulle. Il suit de là que si F (j:) est une fonction développable par la série de Ma-

claurin , F (a?) -f- e "^ , développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, mais qui représentera F (x) , et sera, par conséquent, inexacte.

L'exactitude du développentent ne peut jamais être établie que par la considération de T expression qui en complète la valeur après un nombre quelconque de termes.