Aulre forme pour le reste, — Il est quelquefois

Utile de donner au reste de la série de Taylor une autre forme que nous allons faire connaître.

Considérons d'abord le développement de F [x) ^ nous pouvons poser, en remplaçant .r par z -h [x — z) ,

Si Ton représente le dernier terme par /^(z),. et qu'on différentic les deux membres de l'équation par rapport à ^, on obtient, toute réduction faite,

Celte équation détermine la dérivée/' (z) de la fonction '

el donn^

Or on peut exprimer/ (z) au moyen def [z) par la formule

et l'on peut observer que/(x)=o, puisqu'en faisant z == J? dans la fonction représentée pary(^), on trouve identiquement zéro. La dernière équation donne donc

et Ton a ainsi une nouvelle expression du reste de la série qui donne le développement de F (.r).

Si Ton suppose ^ = o, on a le développement àv Ma-

claurin , sous la forme suivante, eu faisant i — 0i = 6 :

i FW = F(o)4-xF'(o)4- — r'(o)4-...

-+- % . F- (o) + "^ ^' /^ . P ( Ox) ,

ô étant compris entre o et i .

Dans le développement semblable donné précédemment 5 le reste est exprimé par

0 désignant une fraction difterente. La nouvelle forme donnée à ce reste est quelquefois plus propre à manifester la convergence de la série vers F [x).

Si dans la formule (6) on suppose F [x) =f(li-\-x)^ on aura