L.e reste a tendant vers zéro, a mesure que fi

augmente, la série indéfinie a pour somme a^. 2^. Soient

F'''(j:)=:— (i-hx)-', F''(jr)=±:i.2. ..(/i— i)(i 4- a:)-",

d'où résulte

F(o)=:o, F'(o) = i, F'' (o) =-.!,..., F''(o) = rbi.2...(,i-i), et, par conséquent,

2«3 m3 jwi y/i

La série seraitcomposée de termes indéfiniment croissants si l'on supposait x'^i, parce que la limite du rapport d'un terme au précédent est or, lorsque leurs exposants augmentent indéfiniment (voir à la fin la Note sur les séries). Il suffit donc de s'assurer si le reste tend vers zéro quand on a x < 1 ; et pour cela il faut distinguer deux

cas. Si X est positif, on a — <^ i si x <^ 1 5 et par

conséquent le reste tend vers zéro, et la série converge vers 1 (i + .r).

Si X est négatif et qu'on le représente par — z^ le reste

— ^~vi ^^ ^^* présente pas sous une forme propre à

faire reconnailre s'il tend vers zéro ^ parce que l'on n'aperçoit pas lequel est le plus grand des deux termes de la

fraction — ^^- Mais si l'on prend la seconde forme que

nous avons indiquée pour le reste , on trouvera pour le

cas actuel —r ttA — ? ou, abstraction faite du signe,

/z — Bz\'

I — Bz

Or la fraction — est moindre que l'unité si z <^\\

donc le reste tend vers zéro, et la série représente 1 ( i -\-x) . Cette série peut donc être employée pour toutes les va- • leurs de x comprises entre H- i et — i.

On peut obtenir des séries plus convergentes que la précédente et plus applicables au calcul des logarithmes.

Si dans la formule

on change x en — x , on obtient

et , en retranchant la seconde de la première ,

Posant