XI I

=r I H — , d'où x = -

CALCUL DES DÉRIVÉKS F.T DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3o3

il vient

Celte série irès-coiivergcnte donne la différence des logarilhmes de deux nombres entiers consécutifs, et fait connaître, par conséquent, les logarithmes de tous les nombres entiers depuis l'unité.

Connaissant les logarithmes dans la base e, on les obtiendrait dans toute autre base , en les divisant par le logarithme de la nouvelle base pris dans la base e.

Nous ferons connaître plus tard des procédés plus commodes pour la, construction des Tables de logarithmes.

3*^. Soit maintenant

F(a') = (i + x)«, on aura

et , par suite ,

(i 4- x)'" = i 4- w-c H ^^ -x'^'Jt- . . ,

jc»(i H-ôa;)™

Pour que la série indéfinie représente (i + a*)"*, il est d'abord nécessaire qu'elle soit convergente. Or le rapport du

terme de rang p au précédent est x, et tend

vers — a: à mesure que p augmente 5 donc la série n'est pas convergente si x e.ft en dehors des limites -j- i et — i . Il suffit donc de reconnaître si le reste tend vers zéro pour toutes les valeurs de x comprises entre ces limites.

3o4 LIVRE II.

Ce reste peut se décomposer dans les deux facteurs m [m — i). . . (/72 — /i + i)

x" et (i-+-ô^)'"-

Le premier tend vers zéro, parce que si n augmente d une unité, il se trouve multiplie par x qui s approche de plus en plus de — x dont la valeur absolue est • moindre que 1 unité \ et quant au second lacteur^ — r^ »

si Ton suppose d'abord x positif, il tend aussi vers zéro, à moins que 0 ne s'approche indéfinimeïit de zéro, mais dans tous les cas ce facteur reste plus petit que Tunilé, et, par conséquent, le reste de la série tend vers zéro. Donc elle représente {i-{- x)"' pour toutes les valeurs 'de X comprises entre o et + i .

Mais si X est négatif, rien ne prouve que le second facteur ne croîtra pas indéfiniment avec w, et cela arrivera môme certainement , à moins que Q ne tende vers zéro ^ car l'expression (i-\-QxY tendrait vers zéro si la fraction i-i-Qx ne s'approchait pas indéfiniment de l'unité. Il faut alors avoir recours à la seconde forme du reste, qui est

^ 7W (//î — i). . .(m — « -h i) jc" j

Le lactenr — ^ ^ — tend encore vers

zéro^ l'autre facteur devient , en remplaçant x par — z^

Or on a — <^ i , puisque -s <; i : donc ( — |

tendra vers zéro, à moins que 6 ne tende vers zéroj et

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3o5

dans ce cas même celte expression est toujours moindre que Funité. Donc le reste de la série tend vers sséro, et, par conséquent, celle-ci peut être employée pour toutes les valeurs de x comprises entre -f- 1 et — i . 4°. En prenant successivement

F(j?) = sinx, F(x) = cosa:,

on est conduit aux séries suivantes qui sont exactes, quel que soit a: :

sin X =: X — - -

Elles supposent le rayon égal à l'unité, c'est-à-dire que x désigne le rapport de Tare au rayon du cercle; et sinx, cosx désignent les rapports des lignes auxquelles elles correspondent, à ce mêmiô rayon : dans le cas où il serait désigné par R, on remplacerait dans les seconds

membres x par - 9 R étant le rayon ; et dans les premiers

sinx cosj: r^ % 1

sino: et cosa: par -^-^ -jr~* (Quelque grand que soit x,

les termes finissent par aller constamment en diminuant, et comme ils sont alternativement positifs et négatifs. Terreur commise en arrêtant la série à un terme quelconque est moindre que le suivant.

5^. Considérons maintenant des fonctions de x -+- A , et soit d'abord F (.r) = x*" ; on trouvera , quel que soit m,

jn[m -^i)

{jc -i- h Y = x"^ -h ///x"-' h H i i x'"-^» /!'+...

3o6 LIVRE II.

Le rapport du terme de rang p au prëc^enl est ^

et tend vers quand p augmente indéfiniment; la série ije sera donc convergente que si l'on a A <^ j:, abstraction faite des signes. Quant au reste, on reconnaîtra, comme dans le cas de (i -+- j:)"*, que si h est compris entre + a: et — x^ il tend vers zéro; et la série représente par conséquent (a: -|- A )'".

6^. Soit encore

F(^) = logx, d'où

on trouvera

log{. + A) = log. + Icg. [^ - Jt + . . .±__i; j.

La convergence de la série exige encore h<^x\ dans ce cas , on reconnaîtra, comme dans le cas de log [i-h x)^ que le reste tend vers zéro , à mesure que n augmente , et que, par conséquent, log (x-f-A) peut se développer par la formule de Taylor, lorsque h est compris entre -f- x et — X,

On déduirait le développement de log (a: + A ) de celui de log (i -f x) , en observant que

log (.r + /i ) — logx = log n H- i j -

et de même on aurait déduit le développement de [x-^-hy de celui de (i -h t)"*, en observant que

On développerait aussi a"""^^^ en remarquant que

et il resterait à développer ah par la formule donnée cidessus.

223 . Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables. — Proposons-nous maintenant de développer F (a: -h A, J^H-^) suivant les puissances de A et /r, ¥ [x^ y) éunt une fonction donnée. Pour cela nous considérerons d'abord la fonction F [x-hht^y-^ki)^ et nous la développerons suivant les puissances de t par la formtde de Maclaurin : il suffira ensuite de faire f = i pour avoir le développement cherché. Or, pour avoir les coefficients des différentes puissances de r, il faut prendre les dérivées successives de F [x+ht^y-^ht) par rapport à t , puis y faire t=:o. On trouvera par la règle des fonctions composées de fonctions linéaires , en entendant que dans toutes les dérivées partielles de F (a:, y) on remplace x ei j^ par jc -f- Aa , y-^-ht^

r/F ^F , fi¥ , dt dx dy

eU^ dz^ dxdy dy^ '

dt^ djf" djf"-' dy dy*"

Si Ton fait t = o dans toutes ces dérivées partielles , elles deviennent celles de la fonction même ¥ [x^y). On aura donc

t" /d"F , cf"F , \