I .2. . . /î \ ^/x« r/j« Jx-i-Ohi, y-^Okt

X el y étant remplacés par a: -f- 6A^ et y-^- 6kt dans le coefficient de f. Faisant maintenant t=:i, on aura le développement cherché :

•Ti

•Xf

fû

;ïs

hç

ft»

»TJ

çî>

pourvu que toutes les dérivées partielles , jusqu'à l'ordre n inclusivement , soient continues entre x-\-hel y-^h-

On aurait une formule analogue si au lieudeF (ir, y) on avait une fonction d'un nombre quelconque de variables.

Pour que cette série, poussée indéfiniment, représente F (a: -I- /i , j^ -I- A), il faut que l'ensemble des termes qui expriment le reste tende vfers zéro \ et Ton pourra s'en assurer en prenant la valeur de 6 qui rendrait ce reste le plus grand possible , et cherchant si cette valeur maximum tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Quand il arrivera que chaque terme du reste tende vers zéro , quelque valeur qu'ait 6 entre o et i, il sera prouvé que le reste lui-même diminue indéfiniment^ et la fonction F (jc-f-A,j^-|-fc) sera développable en série suivant les puissances entières et positives de h et A*.

Si dans la formule précédente on fait a: = o, j^ = o , on a le développement de F (A , A) -, et si Ton change h et k en X et j-, on obtient

fi*'¥

'0, ey.

Dans toutes les dérivées partielles de F{x, y) ou doit remplacer x et y par o, excepté dans les termes du reste, où ils doivent être remplacés par 6x^ 9y, Si ce reste tend vers zéro quand n augmente, F (jtr, j) peut se développer en série indéfinie suivant les puissances de o? etj'. On a ainsi la formule de Maclaurîn étendue aux fonctions de deux variables ; et on retendrait semblablement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.

Les deux formules (i) et ( 2) peuvent être écrites comme il suit, a, a, , . . . , a„ tendant vers zéro avec h eih :

3io

■ 4Sn

Des maxima et minima des fondions d'une seule variable»

3SA. On dit qu'une fonction F (x) prend une valeur maximum pour la valeur x^àex^ lorsque x croissant ou décroissant à partir de Xq dans un intervalle déterminé, quelque petit qu'il soit, la fonction F (x) est toujours moindre que F (xo ) . La valeur de la fonction est minimum lorsque , dans les mêmes circonstances 9 F (a:) est toujours plus grand que F (xo).

Il résulte de là que, pour que x^ donne un maximum ou un minimum pour F (x) , il est nécessaire et suffisant que F (xo 4- A) — F (xo) soit constamment négatif ou constamment positif, quel que soit le signe de h , pourvu que sa valeur soit suffisamment petite. Il n'y a de règles générales, pour s'en assurer, que quand F' [x) est continu dans le voisinage de x^ , et c'est le seiil cas que nous examinerons.

On aura alors ^

F (-To + A) - F (*•«) = /' F' (x, 4- 0// ).

Lorsque A tend vers zéro, F' (xo-h5A) tend versF'(a:o) •, et si cette dernière valeur n'étai t pas nulle, le second membre changerait de signe avec A: la différenceF{j'o4-A) — F(xo) ne serait donc pas de signe constant , quel que fût le signe de h , et par conséquent F (x) ne serait ni maximum ni minimum, pour x = Xo. Une condition commune au maximum et au minimum est donc F' (xo) = o, et c'est seulement parmi les racines réelles de l'équation F' (x) = o qu'il faut chercher les valeurs de X propres à rendre F (x) maximum ou minimum. La valeur Xo étant ainsi choisie,

3i2 LIVRE II.

on aura

La limite de F'' (xo+6h) est F''(to) lorsque h tend vers zéro, et si F'^ [xq) n'est pas nul, il est évident que pour toutes les valeurs de h positives ou négatives , comprises dans des limites suffisamment petites, le second membre et, par suite, la différence F {a:© -h A) — F(.Xo) conservent toujours le même signe. La valeur F {xq ) est donc maximum ou minimum. Elle est maximum lorsque l'on a F'' (xq) <[o, et minimum si F''(.ro)>o. Mais si par hasard on a F''{j:o)==o, on ne peut plus rien conclure, et il faut mettreladifTérence sous une autre forme. On pourra écrire dans ce cas

et comme A* change de signe avec h , on voit que si F"^{xt) n'est pas nul , la différence changerait de signe avec /r, il n'y aurait donc ni maximum ni minimum.

Mais si F'"(a:o) = o, on a

F(.rp-f-//)--F(.rO = ^F-(^o-hÔA),

et il est clair que sî Ton a F"^ {xo) < o, la différence est constamment négative, et F (xo) sera maximum 5 tandis • que si l'on a F"" (xo) > o, elle sera constamment positive, et F (xo) sera minimum.

Les. mêmes raisonnements étant continués jusqu'à ce que l'on obtienne une dérivée qui ne devienne pas nulle pour x=iXo, on arrive à celte conclusion générale, que, pour que 0*0 rende maximum ou minimum une fonction (font les déiwccs sont commues j il faut que cette va-

CALCUL DES DERIVEES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3l3

leur de x annule un nombre impair de déri\^ées consécutii^es, à panir de la première , et lorsque cette con^ dition est remplie, on a un maximum si la dériva ée suivante est rendue négatii^e par cette ^valeur de x^ et un minimum, si elle est positivée,

La recherche des maxima et mini ma est ainsi ramenée à la détermination des dérivées d'une fonction d'une seule variable, et des racines réelles d'une équation à une inconni:^.

Si cette fonction n'est pas donnée d'une manière explicite, on formera ses dérivées par les règles connues, puis on appliquera la théorie qui vient d'être exposée , et qui est indépendante des moyens à employer pour former ces dérivées. Nous allons montrer quelle est, dans ce cas , la marche du calcul.

225. Cas des fonctions implicites, — Considérons une fonction liée km — i variables par m — i équations données : soient, pour fixer les idées , les trois équations

If étant la fonction dont il faut trouver le maximum ou le ininimum.

En les différentiant, on trouve

^F (IV dy^ 'IK— d¥(lu^ dx dy d.r dz d.c tin dx

Ir/F, dY.dY r/F, Vz dV,dji

dx dy dx dz dx du dx

rfF, dj^ dy dF, dz dF, du

(ix dy dx dz dx du tix

j , . /T . dy dz ,

au moyen de ces équations, on éliminera y-' -. ^ et Ja va-

3l4 LIV&E IT.

du dx

leur de — qu'on en tirera, devra ensuite être égalée à zéro-,

ou, plus simplement, on remplacera — par zéro dans ces

équations, puis on éliminera ~-> — entre les équations résultantes, qui sont

rfF cl^dy dFdz'

dx djr dx dz dx •

Jd¥, dF, df dF, dz^^

^ ^ ^ dx ily dx dz dx ^

dF^ rfF, dy dF-, dz

dx dy dx dz dx

Eliminant -— et —i on obtiendra une équation qui , jointe

aux trois autres F=o, Fi = o, Fj = o, déterminera

x,y,z, li.

On difTérentiera de nouveau les équations (i) et Foo

d^ Il obtiendra la valeur de — - ; on v substituera les valeurs

ax*

trouvées de x, j", ^, m, et l'on reconnaîtra au signe de cette expression, s*il y a maximum ou minimum. Si Ton

avait -— , = o , on chercherait les dérivées suivantes de m

par rapport à a:, et l'on y appliquerait la théorie précédente,