Pour éliminer ^9 -^ des équations (2), on peut

se servir de la méthode des multiplicateurs . Pour cela on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés X, fx, et on les ajoutera à la première; puis on égalera à zéro les coefficients de-j-'^ — . elle terme indépen-

CALCUL DBS DÉRIVÉES ET DES DIJF FÉREIfTIELLES , ETC. 3l5

dant : ce qui conduit aux trois équations

r/F , dh\ dF, dx dx ^ dx

dF , r/F, dF, dx djr *^ (if

dz-^^ dz -^^ dz-

d^où l'on éliminera X et p; ce qui conduira, comme on le sait par les théories deFalgèbre, à la même équation que

si l'on avait éliminé autrement —■» -7— Ce procédé de cal-

dx ax ^

cul a souvent des avantages sur Tautre.

227. Considérons maintenant une fonction de m variables, liées par m — i équations : ce cas renferme le précédent, qui s'en déduit en supposant que la fonction se réduise à Tune des variables. Soient, par exemple, les trois équations ,

F(a:,r>2»")=o> F^[x,y^Zya) =0, F, {x,^, «, /*) = 0,

et soit proposé dq trouver le maximum de la fonction /(x, y, 2, a). Dans ce cas aux équations (i) , dans lesquelles — ne serait plus zéro , on joindrait la suivante :

dx dy dx dz dx du dx

, , . X ,^. • » dy dz du -.,

et de ces quatre équations [on eiimmerait --«» —, ---Il

• en résulterait une équation entre x, j^ z^ a, qui , jointe aux équations données, déterminerait ces quatre quantités. On chercherait ensuite la dérivée seconde dey(a:, y^ z, u)

3l6 LIVRE II.

par rapport a X'^ elle renfermerait — ^^, --i -— , qui se-

%ttAj CitZf €€,Â0

ront faciles à trouver au moyen des trois équations (i);

et l'on reconnaîtrait, au sîgn^de celte seconde dérivée,

si la fonction y* (^Tjj^, z^ u) est minimum ou maximum.

On peut remarquer que les équations entre lesquelles

, ,1. . dr dz da .1 A -n

on a a éliminer -7-9 -7- » -r seraient les mêmes si 1 on avait dx dx dx

à chercher le maximum de l'une des fonctions F, Fi, Fj,

les deux autres étant égales à zéro, ainsi que/.

Des maxima et rmnima des fonctions de plusieurs "variables,

228. On dit qu'une fonction F (a:, y) des deux variables indépendantes x^y acquiert une valeur maximum, pour certaines valeurs, x^^ /09 de x et y, lorsqu'on changeant ces variables en ar-o 4- A , j^o 4- ^ , /* et A: étant des quantités arbitraires comprises entre o et des limites positives ou négatives aussi petites que l'on voudra , la fonction est constamment moindre que pour les valeurs jr©? Jo- Sî , au contraire, elle était constamment plus grande, on dirait qu'elle est minimum pour ces mêmes valeurs.

D'après cela, la diflFérence

doit être constamment négative , quels que soient les va-^ leurs et les signes des quantités infiniment petites h et J, si F {x^y) est maximum 5 et elle doit être constamment positive dans le cas du minimum. De sorte que ce sera un caractère commun au maximum et au minimum, qu'elle soit invariable de signe.

Nous ne considérerons que le cas où la fonction et ses dérivées, jusqu'à Tordre dont on aura besoin, sont continues. Les cas de discontinuité ne donnent pas lieu à des règles générales, et se discuteront suivant la question.

D'après une formule précédente , nous aurons, en désignant par a, «i des quantités infiniment petites,

Si -7- et -7- sont différents de zéro , le signe du second

dx dy

membre , lorsque A et A tendront vers zéro , finira par être constamment le même que celui de

dY^^ d¥^ fia: df

Or cette expression change de signe si Ton change hetk de signes, sans changer leur grandeur; donc F (x, /) ne serait ni maximum ni minimum, et, par conséquent, pour qu'elle puisse être Fun ou l'autre , il est indispensable que l'expression précédente soit nulle; comme A et % sont indépendants l'un de l'autre, on devra avoir

dF dF

dx ' dy

Si ces conditions sont remplies^ on aura

et si les trois dérivées du second ordre ne sont pas toutes rendues nulles par les valeurs x^y^ le signe du second membre , et par suite de l'accroissement , finira par être le même que celui du trinôme

d^F h' d'F (TFA^

ilx'^ 2 dxdf dy^ 2

Il faut que cette expression soit constamment négative ,

3l8 LIVRE II.

quels que soient h et h^ pour que F (x, j') soit maximum, et constamment positive pour qu'elle soit minimum. Si

on la divise par —9 ce qui n'en change pas le signe, on

obtient

d'Y fkY d^F /A rf'F

df' \h) ^ dxdy \h) ^ dx^ '

et pour que ce trinôme ne change pas de signe, quel qae

soit j9 et ne soit jamais nul, il faut que Ton ait

/rf^F\ d'Y d'Y \dxdp) ^ dy^ * dx" '

^'F d'Y condition qui entraine que -j-^ et -7-^ soient de même

signe.

Si elle est satisfaite par les valeurs de x et / tirées des deux équations

dY dY

la fonction F (x, r) sera maximum si -7-- et -r- sont né- ^ "^ ^ dx' dy'

gatifs, et minimum s'ils sont positifs.

Si les trois dérivées du second ordre étaient nulles , il

faudrait que toutes celles du troisième le fussent , et que

le signe d'un polynôme du quatrième degré par rapport

k à -j fut constant : ce qui conduirait à des conditions plus

compliquées. On continuerait semblahlement si les dérivées du quatrième ordre étaient encore toutes nulles.

229. Ces raisonnements s'étendent facilement à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes^ seulement les conditions se compliquent de plus

CALCUL DES oéRlVlSES ET DES DIFFlÉRENTIELLES, ETC. 3ig

en plus. Dans le cas de trois variables par exemple, on aura les trois équations

^F dF dF

et il faudra que le polynôme

djcay dxdz dydz

soit constamment de même signe, quels que soient A, /r, /.

Pour exprimer cette condition , on divisera d'abord par

h* 5 et si Ton pose - = p, j z=: ^, on aura un polynôme

de la forme

A^'+ B;?»4- 2Cpq 4- 2D<7 -f- aE/? -f- F.

En le considérant relativement à la variable q seulement, il faudra, pour qu'il ne change pas de signe, que Ton ait, quel que soit ;;,

(C— AB);?'H- 2 (CD — AE)/? 4-D'— AF<o.

On posera sans difficulté la condition pour que ce polynôme soit de même signe quel que soit p, et l'on y ajoutera , pour qu'il soit négatif,

C'— AB<o.

De même que le cas de deux indéterminées /?, q se ramène à une seule , on ramènerait celui de trois à deux, et ainsi de suite.

230. Cas d'une fonction intplicàe. — Proposons-nous de trouver le maximum d'une fonction /(x, y, z) en sup-

posant les variables x, j, z liées par une équation

F(a:,jr, 3) = o,

en vertu de laquelle z est une fonction implicite des deux variables indépendantes x^ y,

La théorie précédente exige que les dérivées partielles de/(a:, /, z) par rapport à x eiy soient nulles séparément ; ce qui donne

dx dz dx ^ dy dz dy '

équations dans lesquelles on mettra pour— » —leurs va* leurs tirées des deux suivantes :

dV dY dz

JF r/F dz

dx dz dx

dy dz dy

On aura ainsi deux équations entre x^y^ z^ qui, jointes à F (a:, y^ z) = Oj détermineront x^y^z. On formera ensuite les dérivées partielles du second ordre def(x^f^ z) : elles dépendront de celles de z , qui seront déterminées par les règles de la différentiation des fonctions implicites à deux variables.

En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans la fonction , et le nombre des équations qui les lient, il suffira de reconnaître les variables indépendantes , et d'égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables. Les équations qui en résulteront, jointes aux équations données , seront toujours en même nombre que les variables , et les détermineront. On formera ensuite facilement les dérivées partielles successives de la fonction par rapport aux variables indépendantes, et on les soumettra aux épreuves établies dans la théorie précédente.

On peut donner une avilre forme au calcul du maximum ou du minimum d'une fonction de m-h n variables, liées par n équations, ce qui est le cas le plus général.

Il y a alors m variables indépendantes, et Ton devra égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction par rapport à chacune d'elles 5 ce qui revient à dire qu'on égalera à zéro la différentielle totale de cette fonction, quelles que soient les valeurs des différentielles indépendantes. Et, pour cela , on tirera des équations données les valeurs des différentielles des variables dépendantes en fonction de celles des variables indépendantes; on les substittiera dans la différentielle totale de la fonction proposée, puis on égalera à zéro les coefficients de toutes les différentielles qui y seront restées.

Soityia fonction des m-^ n variables x, y, z, ?/, etc., qui sont liées par les n équations

on aura les w -+- 1 équations suivantes :

-f-rfx -I- ~- r(r -+- -f- û?z-h . . . = o, ftx dy dz

dL , dL ^ dL ,

-— fl^.r H- --- rtT/ -h -— ^z + . . . = o ,

dx «T -. "^

dM , ^M , r/i>I

dx dy dz

^/N , ^N , rf N ^

-— rfx -h — - rf/ + -7- ^z -h . . . = o>,

dx dy dz

et l'on doit tirer des n dernières les valeurs des différentielles des n variables dépendantes , les reporter dans la première, et égaler à zéro les coefficients des m differen- I. 21

lielles arbitraires qui y resteront. En cVautre^ termes, il faut éliminer n différentielles de ces n -h i équations, et égaler à zéro les coefficients de celles qui subsisteront dans l'équation finale.

Pour faire cette élimination , on multipliera les n dernières équations par des facteurs indéterminés, X,|ui, v,elc.. on les ajoutera à la première, et l'on égalera à zéro les coefficients des «différentielles des variables dépendantes, ce qui déterminera i, |:/, v, etc. , puis on égalera à zéro les coefficients des in autres variables ; ce qui revient évidemment à annuler les coefficients des m -\-7i différeotielles, après l'addilion des équations, et à éliminer i, |i, V, etc., de ses m-\-n équations; ce qui conduira à m équations entre x, y^ z, etc., qui, jofntes aux n équations données, déterminent les valeurs de ces variables qui peuvent donner les maxima et minima de la fonction proposée. On les distinguera ensuite au moyen des secondes dérivées partielles de la fonction, comme nous Pavons fait connaître ci-dessus.

On peut remarquer que le calcul serait le même si Ton s'était proposé de trouver le maximum ou le minimum absolu de f-^ XL-f- f;.M + • . . , en ayant égard ensuite aux équations L = o , M = o.

231 . Remarque. — Quelquefois les variables qui entrent dans l'expression dont on clierclie le maximum ou le minimum , au lieu d'être liées par des équations , sont assujetties à des inégalités. On ne peut en tenir compte de la même manière que des équations , et l'on agit suivant les cas.

Quelquefois un changement de variables dispense de tenir compte des inégalités*, nous en citerons un exemple.

Supposons qu'on demande le maximum ou le minimum de la distance d'un point donné B [fig, 84) 5 aux différents points d'un cercle dont le centre est A et le rayon

R -, et que Ton exprime la distaiiee BM au moyen de l'abscisse MP du point M du cercle 5 on aura, en faisant

BM' = fl' -h R' — 2 a.r.

Si l'on ne remarquait pas que x est assujetti à la condition d'être compris entre — R et -f- R, et qu'on appliquât la règle ordinaire, on écrirait 2 a = o -, ce qui ferait penser que le problème est impossible. Une discussion bien simple montre qu'en faisant passer .r de — R à H- R, le maximum a lieu pour x = — R et le minimum pour ^i? =-|- R. Mais dans d'autres cas ce pourrait être trèsdifficile.

Si l'on posait x =:R costp, cf serait l'angle MAB, et il n'y aurait plus aucune condition d'inégalité à exprimer. On aurait alors

BM» = «^ -h R' — 2 âf R cosy,

•et la règle ordinaire donnerait sinç = o, d'où l'on tirerait 9=05 ç == TT, qui donnent le minimum et le maximum de BM,

324 LIVRE ir.