APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCCIL DIFFÉRENTIEL
Tangentes et normales aux cowhes planes , Expression générale de la longueur de la tangente, de la soustangente y de la normale et de la sous-normale,
232. Plusieurs des questions que nous allons considérer n'auront pour objet que l'application des notations du calcul différentiel à des questions étudiées dans le premier livre , ou l'extension et la généralisation de ces mêmes questions. Nous commencerons par les tangentes et les normales.
Nous avons appelé , en général , tangente à une courbe la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante qui passe par un point constant de cette courbe , et dont un second point d'intersection se rapproche indéfiniment du premier.
Soit F (x, j^) = o l'équation d'une courbe quelconque, et x\ y les coordonnées du point de cette courbe, auquel ou veut mener une tangente 5 l'équation de la sécante menée par ce point et par celui dont les coordonnées sont x'-h Ax', y -h A', et qui appartient aussi à la courbe ^ sera , dans un système quelconque d'axes ,
Calcul des dérivées et des différentielles, etc. '6hS A mesure que le second point d'intersection se rap-
Ar' proche du premier, — y tend vers la dérivée de y par rapport à a:, correspondante à la valeur particulière x^\ il existe donc une direction limite pour la sécante, comme nous l'avons déjà établi 5 et, d'après les notations convenues, l'équation de cette droite que nous appelons tari" gente est
Le coefficient -— , sera déterminé en fonction de x\ r\
d'après les règles du calcul différentiel, au moyen de l'é-
quation F (x , y ) = o , qui donne ~, = — ^, •
^' L'équation de la tangente devient ainsi
On appelle normale la perpendiculaire à la tangente, menée par le point de contact. Si les axes sont rectangulaires, son équation sera
j-^/c=— ^(^ — y), ou /— /' = — ^,(ar-^'),
ou encore
Si les axes des coordonnées font entre eux un angle quelconque 6 , l'équation de la normale aura la forme sui*
3a6 LIVRE II.
vante :
,JdY iiF \ . ,Jd¥ dF \
Si les coordonnées or', y n'étaient pas données et que la tangente, ou ïa normale, fût assujettie à passer par un point donné , ou bien à être parallèle à une droite donnée, on obtiendrait immédiatement, d'après les équations précédentes , une équation entre x'^y'. qui , jointe à celle de la courbe, déterminerait ces deux inconnues. Si, au lieu de cherclier les solutions réelles de ces deux équations, on construisait les lieux géométriques qu'elles représentent, en y regardant x\ y' comme variables, les points d'intersection de ces lieux, dont l'un est la courbe proposée, • seraient les points de contact cherchés.
233. On appelle sous-tan gentc et sous-normale les parlies de l'axe des x comprises respectivement entre le pied de l'ordonnée du point de contact et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale. Elles ont pour expression la valeur de j: — x' relative à j^ == o dans les équations respectives de la tangente et delà normale. Elles seront dirigées vers les x positifs ou négatifs , à partir du pied de l'ordonnée, suivant que x — arasera positif ou négatif.
Nous appellerons longueurs de la tangente et de la normale les parties de ces lignes comprises entre le point de contact et les points où elles coupent respectivement l'axe des a:.
Il est facile d'obtenir l'expression de ces différentes lignes. Nous supposerons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires , et nous représenterons par T la tangente , par N la normale , par S^ la sous-tangente , et par S„ la sous-normale. Cela posé, on trouvera facilement les for-
CALCUL DES ïîtRlVÉES ET DES DIFEKREÎS 11 ELLES , ETC. 32*J
mules suivantes :
dx'
^=-^V'^^^' N--,Yi+
EXEMPLES
Ellipse et hyperbole. — Si Ton applique loules ees formules à Tellipse et à l'hyperbole, renfermées dans Téq nation
on trouvera les résultats suivants :
ou \ , équation de la tangente;
«'// ± b' xx' =±a'b^ )
b'^x' [y — y')zç:a^ y' {x — jc') = o, équation de la normale;
Parabole. — Si l'on considère la parabole ayant pour équation y^ = 2px^ on trouvera
ou >, équation de la tangente;
j-y=pi^'^^') I
y — /' = {Jc — ^'), équation de la normale ,
T = y^2ar'(2^'-f- p\ N = ^p(2x''^p).
S28 IIVRE II.
Logarithmique. — Considérons maintenant la logarithmique ayant pour équation j^ = al-— ^aetm sont des lignes données, et les logarithmes sont relatifs à la base de Neper, ce qui ne diminue en rien la généralité de l'équation. On aura, dans ce cas,
dx X ' y — y' zzz—^i^x — jt') , équation de la tangente^
y — y = [x — x') , équation de la normale ;
b/ = — - J? I — , Si, = ;- = r— •
Si l'on prend la sous-tangente et la sous-normale sur Taxe desy au lieu de l'axe des x , elles auront pour expression la valeur de j^ — y' relative à :p = o.
On trouvera ainsi
Cycloïde. — Considérons encore la cycloïde, qui jouit de plusieurs propriétés très-remarquables.
Elle est engendrée, comme nous l'avons vu , par un point de la circonférence d'un cercle qui roule , sans glisser, sur une droite indéfinie à laquelle il est tangent. Elle se compose d'une infinité de branches superposafcles , ayant chacune pour base une partie de la droite égale à la circonférence du cercle mobile.
Prenons la droite donnée pour axe des x , et l'origine en un quelconque des points où elle est rencontrée par la courbe. Soient B ( fig. 85 ) le point de contact du cercle générateur avec l'axe des x, et l'arc MB égal à AB5 le
CALCUL BES D^RIVliES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 32g
point M appartiendra à la cycloïde. Désignons par &> l'angle MOB qui pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à ± 00 ; il est facile d'établir les équations suivantes, dans lesquelles a désigne le rayon du cercle :
x=za[vs — sinw), j=za[\ — cosw).
Ces équations ont lieu dans toute Fétendue de la courbe. L'équation entre x el y sera
x= a arc ces sj^ciy — j^' j
mais il faudra avoir soin de changer alternativement le signe du radical dans les deux moitiés de chacune des branches successives. Différentiant ces équations , on aura
dx = a(i — CQS(ù)d(ù =xci(,>, rf;- == a sin w rf« ,
dx^y
y — j' = 4 / ——(07 — .r'), équation de la tangente;
y — j' = — i / — -, [x — a?'), équation de la normale ;
La valeur de S» ou de N prouve que la ligne MB est la normale, et, par suite, que la tangente est MC.
Formules analogues en coordonnées polaires. 234. SoitTéqualion F (0, r) = o entre les coordonnées
33o LIVRE II.
polaires ô et r d'une courbe à laquelle on veut mener la tangente au point M {fig- 86). Nous avons déjà vu comment on détermine l'angle (x que fait celte tangente avec le rayon vecteur OM , le triangle KMN donne
KM sinN KN ~" sin KMN '
d'où, en passant aux limites,
rd9 r
— = tangp:
La sous-tangente et la sous-normale se rapportent à la perpendiculaire au rayon vecteur, menée par le pôle. Od trouvera immédiatement les formules suivantes :
Exemples» — i^. Soit d'abord la spirale d'Archimède :
On voit que la sous-normale est constante et que la courbe, tangente à l'axe, au pôle, tend de plus en plus à être perpendiculaire au rayon vecteur.
Soit maintenant l'équation r = ~ de la spirale hyperbolique
dr a ^ r*
dQ^^Ô^' tangp=;-Ô, S,= -fl.
Ainsi, dans cette courbe, c'est la sous-langenle qui est constante.
2^. Considérons encore la spirale logarithmique dont l'équalion est
e dr
me
tancra = - > h, = — ? bn = w>
La valeur de tangfjL montre que le rayon vecteur est toujours également incliné sur la tangente.
Les valeurs de S, et S„ prouvent que les extrémités de la normale et de la tangente décrivent des spirales identiques avec la première, et semblablement situées par rapport à des axes différents passant par le même pôle.
Les mêmes formules s'appliquent très-simplement aux sections coniques.
