CONTACTS DE DIVERS ORDRES
251 . La courbure en un point d'une courbe étant la limite du rapport de V angle des tangentes extrêmes à Tare correspondant , aura pour valeur
Av d^
lim. — i ou -V»
Ls as
(f désignant l'angle de la tangente avec Taxe des x ^ et si l'on appelle R le rayon de courbure qui est aussi le rayon
du cercle osculateur, nous avons vu que - est la mesure
de la courbure 5 on aura donc
df
et, d'après les formules des n*^' 242 , 243, on aura dans un système de coordonnées rectangles
..tm.
dy
dx"
l't dans un système de coordonnées polaires,
^ dr' (fr
Les réciproques des valeurs de R seraient celles de la courbure.
Si l'on prenait pour variable indépendante une quantité quelconque t différente de l'abscisse, on déduirait l'équation suivante des formules générales par lesquelles on opère cette transformation :
ou R =-
dx d^jr dy d^x dxd^y — dyd^x
It 1?'^ li dF
On aurait pu passer aussi à la valeur de R exprimée en coordonnées polaires » en partant des coordonnées rectangulaires. On aurait trouvé la formule obtenue ci-dessus d'une manière directe.
Appliquons cette transformation au cas où la courbe serait donnée par une équation entre l'ordonnée et l'arc , et prenons Tare pour variable indépendante 5 on a
dt
d^X ds^
dy
ds
d^x \ds] ds^
dx d}x ^ dy cPy
ds ds' ^ ds ds^ "" ^
d'oui
on tire
■ d'y ds'
Il serait, du reste, très-facile de trouver directement cette dernière formule. On déterminerait l'angle de con-
CALCUL DES DÉaiVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 359
tingence r/ç, en parlant de la formule sîn(p = —-? croù
donc
formule qui coïncide avec celle que Ton avait obtenue par le changement de la variable indépendante.
Courbes osculatrices .
252. Si Ton considère, au lieu d'un cercle, une courbe représentée par une équation donnée de forme, et contenant un certain nombre de coefficients indéterminés, on pourra lui donner autant de points communs avec la courbe proposée , qu'il y a de ces coefficients. Si Ton fait ensuite tendre tous ces points vers le premier, la limite vers laquelle tend la courbe variable se nomme la courbe, os eu lattice delà, proposée, relativement à celles qui sont renfermées dans l'équation indéterminée.
Ces conditions géométriques peuvent être exprimées par des relations très-simples entre les coefficients difierenliels successifs des ordonnées des deux courbes : soient Xi, x^^ x^^,,.^x,„ les abscisses de m points communs à deux courbes, croissant par degrés inégaux suivant une loi quelconque 5 on supposera , pour mettre le plus de généralité possible dans la question , que l'on prenne pour variable indépendante une quantité quelconque f, dontx, et par suite j^, seront des fonctions connues.
Soient ji, 72,^3,...,/,,, les valeurs de j^ relatives aux points communs 5 les différences successives dej^i jusqu'à l'ordre m — i peuvent s'exprimer, comme on le sait, au
36o LIVRE II r
moyen des valeurs ji,yj,...3j^^, et il est évident qu'elles seront les mêmes pour les deux courbes, puisque les ordonnées y,, y ,,...3 y,„ sont les mêmes. Les rapports
-Zl , ji-' , , • • ? ^seront donc identiquement les mêmes
de part et d'autre, et, par suite, leurs limites seront aussi les mêmes.
Les m — I premières dérivées de j" par rapport à t auront donc les mêmes valeurs au point commun, dans les deux courbes , et il en sewi dç même de
dx iPx d'"-^œ
~dt' liF''"' dr-''
Or on sait, d après les formules relatives au changement de la variable indépendante , que les valeurs de
dy d}y d'^~^y
di^ 5^'*"' djf"-'
ne dépendent que des dérivées de x et de j^ par rapport h t^ depuis le premier ordre jusqu'à celui que l'on consi- ' dère , inclusivement.
Donc , quelle que soit la loi continue suivant laquelle les points communs se rapprochent du premier, la courbe limite sera telle ,^que pour x = x^ les quantités
^'> -JZ^
dx dx"^ dx"*-^
auront la même valeur, si on les tire de son équation ou de l'équation de la courbe donnée.
Donc , pour déterminer les m coefficients de l'équation de la courbe osculatrice, il suffira d'égaler les valeurs des
dv cf" — ' Y
m quantités ji, -r-*' * • • ' , J\^ que l'on tirera des équactx ctx
lions des deux courbes , et dans lesquelles on donnera à x
et y les valeurs x^^y^^ du point que l'on a choisi sur la première courbe.
Mais on formera plus simplement ces m équations en différentiant m — i fois l'équation qu'il faut déterminer, et remplaçant dans celle-ci et dans ses m — i dérivées , X çXy par x^^ /i, et les dérivées de y par celles qu'on tirera de l'équation connue.
Telle est la méthode générale au moyen de laquelle on trouve l'équation de la courbe osculàtrice d'une espèce donnée.
Contacts de divers ordres,
253. Lorsque deux courbes ont un point commun , et que l'on augmente l'abscisse de ce point d'une quantité infiniment petite , la différence des ordonnées est généralement du premier ordre.
Si cette différence est du deuxième ordre , on dît que les courbes ont un contact du premier ordre 5 si elle est du troisième ordre , on dît que le contact est du second ; et, en général, il y a un contact du n'^'^* ordre entre deux courbes , lorsque la diÔerence de leurs ordonnées, à partir dupoiut commun, estun infiniment petit de l'ordre n-f-i : d'où il suit qu'entre deux courbes qui ont un contact d'un certain ordre, il est impossible qu'il en passe une autre dans le voisinage du point commun, si son contact avec l'une quelconque des deux est d'un ordre inférieur.
Pour qu'il n'y ait rie a d'incertain dans cette définition des contacts de différents ordres , il est nécessaire de démontrer que l'ordre du contact est indépendant de la direction des axes 5 or c'est ce que l'on établit facilement en prouvant que, pour un point quelconque de l'une des courbes, les différences des ordonnées des deux courbes considérées relativement à des axes différents sont dan» un rapport fini. Cette différence est la plus petite possible
quand les ordonnées sont perpendiculaires à la tangente au point commun.
La seule direction qu'on doive excepter pour les ordonnées est celle de la tangente au point commun.
Maintenant, si Ton développe en séries les ordonnées des deux courbes suivant les puissances de Faccroisseraent de l'abscisse du point commun, on reconnaît immédiatement que le contact entre ses courbes sera de Tordre n , si les 71 premières dérivées de l'ordonnée par rapport à l'abscisse sont respectivement égales pour chacune des courbes, quand on y substitue l'abscisse du point commun : car, dans ce cas , la différence des ordonnées exprimée au moyen des deux termes qui complètent respectivement les deux séries , est un infiniment petit de Tordre ^4- I.
C'est là le caractère analytique auquel on reconnaît Tordre du contact de deux lignes qui ont un point commun.
Autre manière d'envisager les courbes osculatrices.
254. Il résulte de ce qui vient d'être dit sur le contact des courbes , que pour avoir la courbe d'une espèce donnée, qui a le contact de Tordre le plus élevé avec une courbe dont l'équation est connue, il suffit de déterminer les coefficients arbitraires de l'équation générale des courbes dont l'espèce est donnée , en exprimant que , pour Tabscisse que Ton considère, les ordonnées sont respectivement égales, ainsi que leurs dérivées successives jusqu'à Tordre le plus élevé possible. On établira ainsi autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. L'ordre du contact sera le nombre de ces équations , moins une.
On voit par là que la courbe osculatrice et la courbe qui a le contact de Tordre le plus élevé sont identiques.
CALCUL DES D^RIviES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 363
Pour la ligne droite , dont l'équation n'a que deuy coefficients arbitraires , le contact ne sera , en général , que du premier ordre , il sera du deuxième pour le cercle. Mais il pourra arriver qu'en certains points particuliers le contact soit d'un ordre plus élevé. .
Lorsque l'équation de la courbe osculatrice cherchée n'est pas résolue par rapport à j^, on forme ses équations
différentielles successives et l'on y substitue à y\ —-, , etc. ,
les valeurs tirées dfe l'équation de la courbe donnée. Les seules inconnues sont alors les coefficients \ et s'ils entrent tous au premier degré , on trouvera un seul système de valeurs , et , par conséquent , une seule courbe osculatrice.
Lorsque le nombre des dérivées communes est pair, la différence est d'un ordre impair, et, par conséquent, change de signe avec l'accroissement de x' : donc alors les courbes se coupent. C'est ce qui arrive, en général, pour le cercle osculateur.
Si , au contraire, le nombre des dérivées communes est impair, la différence est d'ordre pair et ne change pas de signe avec raccroissement de x' : les lignes ne se coupent donc pas. C'est ce qui a lieu dans le cas de la ligne droite, excepté aux points d'inflexion.
255. Les courbes les plus simples que l'on puisse mettre en contact avec une courbe donnée sont celles qui sont renfermées dans l'équation
^ = A-f-Bar-+-Cj:'H-. . .■+-Ra?«.
On peut établir un contact de l'ordre m — i entre les deux courbes, et Ton aura immédiatement Téquation de la courbe osculatrice en développant son ordonnée parla formule de Taylor, après avoir remplacé x par x' 4- {x — a:') . Cette équation est la suivante, dans laquelle les dérivées de j'' sont remplacées par celles que donne l'équation de
364 LiVBB II.
la courbe connue ,
dx'^ ' dx^ 1.2 dx'"* 1,1,6,,. m^
si w = I , on a la droite osculalrice dont l'équation est
