COURBES ENVELOPPES
- 257 , Les équations qui déterminent les coordonnées a , S du centre de courbure , ou du point de la développée, correspondant au point (x', y) de la courbe donnée, sont, d'après le numéro précédent,
Ces équations ayant lieu quel que soit le point que l'on considère, si l'on donne à x^ un accroissement infiniment petit, ^', a 5 S , qui sont des fonctions de x\ en recevront de correspondants, et les équations (i) et (a) seront encore satisfaites -, les accroissements de leurs premiers membres seront donc nuls, et, par suite, leurs dérivées par rapport à a:'.
Or l'équation (i), différenliée en considérant a, 6, /' comme fonctions de x\ et ayant égard à Téquation (a), donne
da rfê dy d^ i
d'où il résulte, comme nous l'avions déjà démontré, que la normale à la courbe donnée est tangente à sa développée, au centre de courbure.
CALCUL DES DÉRIVlÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 367
258. Le calcul peut encore conduire à la seconde propriété , qui consiste en ce que la différence de deux rayons de courbure d'une courbe est égal à l'arc correspondant de sa développée : il suffit, pour cela , de parvenir à une équation qui ne renferme que dB., doL^ dS.
Or, si l'on différenlie Téquation
on trouvera, en ayant égard à Téquation (i),
et si l'on remet pour a:' — a sa valeur tirée de (i), il vient
dK
, dy da
et , remplaçant ^, par — — ,
fdot^'hdQ^\
dK do/'
Pour éliminer y — 6 , on remarquera que les équations (i) et (3) donnent
d'où
\Jd<x'-hd^'
Reportant cette valeur de j^' — S dans l'équation cidessus, il vient, abstraction faite du signe du radical,
dK =z sJdoL'-hdP,
ce qui démontre que la différentielle du rayon de cour-
bure est égale à celle de l'arc de la développée. D'où Ton conclut qu'un arc quelconque de la développée est égal à la différence des rayons de courbure tangents à ses extrémités. La description de la première courbe d'un mouvement continu, par le développement de la seconde, en résulte, comme nous l'avions fait voir précédemment.
259. Si Ton donnait l'équation F (a, 6) = o de la développée, et qu'on demandât celle de la développante, il faudrait éliminer a et 6 entre l'équation donnée et les deux suivantes :
dans lesquelles — serait donnée en fonction de a et 6 au moyen de l'équation F (a, 6) = o. Il en résulterait une équation entre a:,^^, — 5 et , au moyen du calcul intégral,
on trouverait l'équation finie entre xeXy,
Les coordonnées x^ y d'un point quelconque de la développante peuvent facilement s'exprimer au moyen des coordonnées a, 6 et de l'arc 5 de la développée.
Une construction très-simple conduit immédiatement aux équations
dcf. ^ d^ 1, ^ a — «^ da
a — xz=s~9 6— ^ = j-— , d'où =32-
cls as 6 — j- flb
Si l'on en fait application au cas du cercle , dont l'équation est a' -4- 6* = a', on trouve d'abord
a o: -4- 6 r = û*, ou — se -^ — r=a, a a
équation qui donnerait immédiatement la projection de
CALCUL DES D£aiVli£S ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 869
X et jr sur le rayon a mené au point de contact. Mais
- = COS-» -=::sin- et s m y x""- -{- y^ — a}, a a a a ir ^ j
L'équation delà développante du cercle sera donc
a: ces- ^x^ -f- /^ — a' -h / sin - \/a?=' -h r' — a* = a a a .
et en coordonnées polaires
Ô = - V r' — «' — arc cos-^
comme la figure le. donnerait immédiatement.
Courbes ensfeloppes.
260. Nous avons vu (n° 154) que si Ton considère la courbe représentée par une équation F (x, j", a) = o, qu'on cherche la limite des points de rencontre de celte courbe avec celles qui résulteraient d'un accroissement infiniment petit donné à a ; et que Ton cherche le lieu de ces points limites sur toutes les courbes représentées par l'équation proposée , dans laquelle a varierait d*une manière continue, il suffit, pour obtenir ce lieu, A^ éliminer la constante a entre Véquation de la courbe ^variable et sa dénuée partielle par rapport à cette constante. •
Nous avons fait remarquer que les raisonnements qui ont conduit à cette règle supposent que la fonction F (jc:, j-, a) n'ait qu'une seule valeur, pour un même système de valeurs de x, y^ a -, car, sans cela , il serait possible qu'on dût prendre deux des formes différentes de celte fonction dans les équations des deux courbes voisines. Dans ce cas , on ne pourrait supprimer F (x,/, a) dans la seconde, et les valeurs limites de x^y seraient I. 24
celles qui rendraient égales les deux valeurs de cette fonction.
La propriété remarquable qu'a cette courbe d'être tangente à toutes les positions successives de la courbe variable, et que noiis avons démontrée géométriquement, peut être établie comme il suit par le calcul.
d¥ En effet , si de l'équation — = o on tire a =(f {^x, j),
et qu'on substitue cette valeur dans F (a:, j% a) = o , on aura, pour l'équation du lieu cherché,
Soit l'équation d'une quelconque des courbes variables
Ces deux courbes (i) et (2) ont généralement des points
communs, d'après la génération de la première; or il est
(Ir facile de démontrer qu'en ces points la valeur de ~ est la
même d'après les deux équations.
En eflbt, l'équation (i) différentiée donne
dx dy dx dff \dx dy dx j
Mais — ne diffère de — qu'en ce que ç {x^j) y remplace a, et <f (x, y) est précisément la valeur de a qui rend nul — ; donc — est identiquement nul \ et il reste pour déterminer ~ 7 d'après l'équation (i) ,
dx dy dx
Maintenant réquation (a) différentiée donne
dF d¥ dr dx dy dx
équation qui ne diffère de la précédente qu'en ce que a y remplace y {x,y). Mais pour le point commun aux deux courbes, on a a = f {^tj) 5 puisque cette équation n'est
autre que — = o : donc, en ce point, la valeur de ■—- est la
même pour les courbes 5 donc enfin la courbe variable est constamment tangente à la courbe fixe qui est le lieu de ses intersections successives , et c'est pour cela qu on a donné à cette dernière le nom de courbe enx^cloppe* .
Néanmoins il ne faut pas croire que la courbe enveloppe soit nécessairement tangente à toutes les courbes variables 5 cela n'a lîeu que pour celles qui sont coupées par les courbes infiniment voisines , et les raisonnements précédents ne s'appliquent qu'à celles-là. Or il peut arriver que ce ne soit qu'entre certaines limites de la constante que cette intersection ait lieu. Il est donc plus exact de définir la courbe enveloppe par la propriété d'être le lieu des intersections successives des courbes variables , que par celle d'être tangente à ces courbes dans toutes leurs positions.
261. Si l'on prend pour la ligne variable la normale à une courbe donnée, l'enveloppe sera le lieu des centres de courbure, puisqu'on a démontré qu'ils sont les limites des rencontres des normales infiniment voisines. En appliquant à cette question la théorie qui vient d'être exposée , il est facile de voir que le calcul conduit à la développée. &i effet, Téquation d'une normale quelconque est
372 LIVaK II.
y^ est une fonction connue de x\ et x^ remplace ici la constante a. Diflerentîant cette équation par rapport à x\ il vient
dx'^ dx*
d'où
dx' V dx'^]
et, par suite,
do:'*
dx'^
Ces valeurs de x et j^ sont précisément celles de a et 6 du n** 256. Pour obtenir l'équation de la courbe enveloppe, il faudrait éliminer x' entre ces deux équations , après avoir préalablement remplacé j^' en fonction de x' : ce qui revient à éliminer x', y' entre ces deux équations et celle de la courbe donnée. Ce calcul n*est autre que celui qui est indiqué n*' 256 pour obtenir l'équation de la développée.
applications des théories précédentes,
