Parabole. — Soit x* = 'ipy ; on en tire
x* dy X d^y i
2/? dx p dx^ p
La valeur du rayon de courbure sera
Les coordonnées du centre de courbure seront données
CALGtJI. DES D^RlviES ST DES DirriESNTlSLLBS y ETC. i']^
par les équations et
/ x'\ JC^
Eliminant x exy entre ces deux équations et celle de la parabole , on trouve , pour équation de la développée ,
Cette courbe a un rebroussement du premier genre au point pour lequel a = o.
Ellipse, — L'équation a}j^ -f- 4"x" = a*i* donne
• dx a^y^ dx^ «y
Or, en désignant toujours par N la longueur de la normale , on a
^(a\yl±b^x^
dohc
p désignant le demi-paramètre.
On trouverait la même formule pour l'hyperbole et la parabole. Les coordonnées du centre de courbure seront données par les équations
{a*y'-hb'x^)x (a* y' -^^ b* x^ ) x
Si, au moyen de l'équation de Tellipse, on élimine x de la première, et y de la seconde, on trouve, en posant
LIVBE
fl'— Z.» = t%
jr' =
OB
--es
lia ., ^ d^Y a
et, par suite,
R = 2 v^2 flj^ = ?. N ,
N désignant la normale^ d'où l'on conduirait, comme précédemment , que la développée d'une cycloïde se compose de deux demî-cycloïdes identiques à la première.
On peut déterminer l'aire de la cycloïde en la considérant comme la somme des parties comprises entre les rayons de courbure consécutifs.
Soient QH, PR (^g^ 62) deux rayons infiniment voisins, S leur point de concours , et PR parallèle à A A'; le
ï^appopt des triangles semblables SLF, SRP est ^^^5 dont
et, substituant dans l'équation de Tellipse, on a, powr l'équation delà développée, #
l'équation de la développée de l'hyperbole serait
Elle se déduirait de celle de l'ellipse en y changeant i*
en — 6* I
Cycloïde. — L'équation différentielle de la cycloïde I
est '
CALCUL DES DÉBIVÉES ET DES DIFFEUEIH'IELLES y ETC. 3']5'
la limite estj-, de plus, QRP est iofinimeiit petit par rapport à ces triangles , ainsi que l'aire HSK. Donc la limite de la somme des aires LFPR, depuis A' jusqu'à A, est Taire comprise entre la cycloïde AEA' et sa base 5 et la limite de la somme des triangles SLF est Taire comprise entre A A' et les arcs AB, A'B : cette aire ajoutée à la première forme le rectangle construit sur A A' et 2 a. D'ailleurs le rapport de LFPR à SLF a pour limite 3, puisque le rapport de SPR à SFL a pour limite 4* Donc Taire de la cycloïde AEA' est les trois quarts du rectangle qui a pour base 27ra et pour hauteur 20, et dont Taire est, par conséquent, 4^^*-
L'aire de la cycloïde est donc 3 tt a', ou trois fois celle du cercle générateur.
Spirale logarithmique, — Son équation r=:ae donne, comme on Ta vu ci-dessus ,
N = ae"^^ s/i-hm' = MO , {/ig. 9 1 ) Sr. = mae"'^ = AO- On trouvera^ pour le rayon de courbure ,
Kzzzae""^ s/i-hm\ ou R = MO.
Le centre de courbure est donc à la rencontre de la normale avec la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur.
Si Ton pose
0AX=9S AO=zT^y
l'équation polaire de la développée sera , d'après ce qui précède ,
r z=zma{:
376 ^ LIVAE II.
On peut lui donner la même forme qu'à la proposée, en comptant le» angles à partir d'une droite faisant avec AX un angle a tel , que l'on ait
m me
l'équation précédente devient alors r = ae
La développée d'une spirale logarithmique est donc
une spirale identique, et qui coïnciderait avec elle, si on
la faisait tourner autour du pôle, d'une quantité angu-
