HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS ET DES ÉQUATIONS

et d’un certain degré par rapport à une autre unité ; et il faudra avoir égard à cette circonstance dans l’application du principe d'homogénéité.

Considérons, par exemple, l'équation du mouvement uniformément varié

e=lgt\ d’où g = j.

On voit, par cette relation, que g est proportionnel à e, qui est du premier degré par rapport à l'unité de longueur, et en même

temps proportionnel à p, qui est du degré — 2 par rapport au

temps. Si donc la quantité g entre dans une formule, et qu’on y multiplie toutes les longueurs par un facteur X, et toutes les durées analogues à t par un facteur 9 , les quantités analogues à g devront être multipliées par X et par i . En ayant égard à cette remarque, on reconnaît facilement, par exemple, que l’équation du pendule

,=Vs

est homogène. Car, en multipliant t par 6,

il vient

/ 9= jt

par X , et g par

formule d'où 9 et X disparaissent.

31. Enfin, dans tout ce qui précède, nous avons supposé, sans le dire, qu’aucune des quantités qui figurent dans le problème n’avait été prise pour l’unité de son espèce. S’il en était autrement, il pourrait arriver que des formules, homogènes au fond, perdissent l’apparence de l’homogénéité. Mais il serait alors facile de la leur rendre.

Si, par exemple, un problème de Géométrie conduit à la relation

?(«,&.*, y..-) = ° [il.

GÉOM. ANAL. 3

quand l’unité de longueur reste arbitraire, il conduira, lorsqu’on prendra pour unité la ligne a, à l'équation

'au a '

ou à ?(!,&', <r',i/,...)=0 [3],

en appelant b\ x',y\...\cs rapports “*“>">••• c’est -à-dire des

nombres abstraits. L’équation [3] sera homogène au fond, puisqu’elle aura lieu entre des nombres abstraits ; mais elle n’offrira

pas l’apparence de l’homogénéité. Pour la lui rendre, il suffira de

remplacer b , x,y par — , — , et d écrire ensuite b

au lieu de b'a , x au lieu de x'a, y au lieu de y'a,... et ainsi de

suite ; ,on retombera ainsi sur l’équation [2], qui n’est qu’une

autre forme de l’équation [1], car, en la multipliant par a", si m est le degré d’homogénéité, on retrouve l’équation [l].

."Si. La considération de l’homogénéité est de la plus grande importance en Géométrie analytique : elle sert de moyen constant de vérification, soit pendant la mise en équation des problèmes, soit pendant le cours des opérations, soit enfin lorsqu’on est parvenu au résultat. Elle sert de moyen mnémonique pour retenir les formules. Enfin elle rend les expressions plus symétriques, et suggère quelquefois des méthodes de calcul plus promptes et plus élégantes. Il est donc essentiel que les élèves acquièrent de bonne heure ce qu’on pourrait appeler le sentiment de l’homogénéité; ils y parviendront en s’exerçant à vérifier l’homogénéité de toutes les formules qu’ils rencontrerai I. Ils pourront faire cet exercice sur toutes les équations que nous avons employées jusqu’ici.

55. Lorsque les relations qui existent entre les inconnues et les données d’une figure ont été exprimées analytiquement, et que l’on a obtenu par le calcul l’expression algébrique de chaque in-

connue, il reste encore à traduire en Géométrie les résultats de l’analyse, e’est-à-dire à remplacer les opérations indiquées par des constructions géométriques. C’estce que l’on appelle construire les formules obtenues.

C'onNtrurtion des expressions rationnelles. NOUS Supposerons d’abord que l’inconnue considérée soit une ligne. Son expression devra être homogène et du premier degré.

Si elle est entière et de la forme x = a-f-6 — c-\-d — c, il suffira, pour la construire, de porter sur une droite indéfinie X.Y

e- f c (fig. I8) et dans un même

v n s îî n x sens à partir d'un point dé-

rig. u. terminé O, une série de

longueurs OA, AB, BD respectivement égales aux lignes a, b, d qui sont précédées du signe f-; et de porter ensuiteen sens contraire, à partir du dernier point obtenu D, une série de longueurs DC, CE ou CE' respectivement égales aux lignes c et e qui sont précédées du signe — . Le résultat, c’est-à-dire la valeurde x, sera OE ou OE', et devra être considéré comme positif ou comme négatif, suivant que le point E sera situé, par rapport au point O, du côté que l’on a adopté pour le sens positif ou du côté opposé.

54. Si la valeur de x est fractionnaire et de la forme x — —, on

la construira en cherchant une 4* proportionnelle aux lignes m, a

et b, de telle sorte qu’on ait m:a=b:x, ce que l’on sait faire.

„ . , , , abcd ab c d

Si elle est de la forme x= ou x——. -. -, on construira

mnp m n p

successivement une 4e proportionnelle y aux trois lignes m, a et b; une 4' proportionnelle* aux trois lignes n,ccly; enfin une 4* proportionnelle x aux trois lignes p, d et z. On aura, en effet, successivement :

my=ab, nz=cy, px—dz,\

d’où, en multipliant membre à membre :

mnpx=abcd ,

.. abcd

et, par suite, x = .

’ 1 «uu«

On peut lier les constructions de manière à les abréger. Par un point O (fig. 19) menons deux droites sous un angle quelconque;

et portons alternativement sur chacune d’elles, à partir du point O, les distances