HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS ET DES ÉQUATIONS

d’unité, cela reviendra à multiplier'lcs quantités concrètes par un même facteur entier ou fractionnaire; or, l’équation étant supposée homogène par rapport à ces quantités, elle aura lieu indépendamment du facteur introduit.

28. Réciproquement : Si une équation algébrique entière (pour borner la proposition au seul cas utile) entre des quantités concrètes de mime espèce, a lieu indépendamment de l’unité « laquelle ces quantités sont rapportées, cette équation est homogène, ou elle résulte de l'addition de plusieurs équations homogènes de degrés différents.

En effet, soit M-f-N+P-f- ... = 0

l'équation considérée, dans laquelle M, N, P, etc., sont des polynômes homogènes, par rapport à ces quantités concrètes, dont le degré est respectivement m, n, p, etc. Si l’on change d’unité, ce qui revient à multiplier par un môme facteur u toutes les lettres qui représentent les quantités concrètes, il viendra

Mu"’-{-Nu"-t-P«,’-f- ... = 0.

Or, pour qu’une pareille équation ait lieu indépendamment de u, il faut qu’on ait séparément

M = 0, N=0, P = 0, etc.,

et l’équation proposée résulte de l’addition de ces dernières.

C’est ainsi que toutes les relations obtenues entre les lignes d’une figure plane, étant indépendantes de l’unité de longueur, doivent être homogènes; à moins qu’on n’ait par inadvertance additionné des relations séparément homogènes, mais de degrés différents.

21>. Équations qni renferment des quantités concrètes d'espèces différentes. Lorsqu’une équation renferme des quantités concrètes d'espèces différentes, il peut se présenter deux cas.

Les unités auxquelles ces diverses espèces de quantités sont rapportées, peuvent être indépendantes les unes des autres. Dans ce cas, si, comine cela a lieu d'ordinaire, la nature même de la question indique que la relation ne dépend pas du choix des

unités, elle devra être homogène par rapport à chacune des espèces de quantités concrètes en particulier. Nous excluons le cas où elle résulterait de l’addition de plusieurs équations homogènes de degrés différents , parce que ce cas ne pourrait se présenter que par suite d’une fausse marche dans les calculs.

Il peut se faire, au contraire, que l'une des unités dépende d’une ou de plusieurs autres; il faudra alors avoir égard à cette dépendance dans l’application du principe d'homogénéité.

Supposons d’abord que l’équation contienne certaines lettres S, S’, etc., représentant des aires, avec d’àulres lettres a, b, c, etc., représentant des lignes. Il faudra se rappeler que les théorèmes de Géométrie sur lesquels on s’est appuyé pour établir la relation proposée, supposent implicitement une certaine relation entre l’unité de longueur et l’unité de surface, de laquelle il résulte que si l'expression numérique des lignes de la figure est multipliée par u, celle des aires de cette même figure sera multipliée par u’. Il s’ensuit que, dans l’application du principe d’homogénéité, on devra regarder les lettres S, S', etc., comme étant du second degré, tandis que a, b, c, etc., sont du premier. Ainsi la formule

est homogène si S et S' sont des aires, h, h', a et b des lignes.

Supposons ensuite qu’il y ait à la fois dans l’équation des volumes V, V', etc., avec des aires S, S', etc., et avec des lignes a, b, c, etc. On se rappellera également que les théorèmes sur les volumes supposent entre les unités une relation telle, que si l’expression numérique des lignes d’une figure est multipliée par u, celle des volumes le sera par u* ; en sorte qu’on devra regarder V, V', etc., comme étant du troisième degré. Ainsi la formule

est homogène, si V et V' sont des volumes, B et b des aires, h et h' des lignes.

30. Il peut se faire encore qu’une même quantité dépende de plusieurs unités indépendantes entre elles. Dans ce cas, cette quantité sera d’un certain degré par rapport à l’une de ces unités,