CHAPITRE PREMIER

THÉORIE DES PROJECTIONS

404. Dans la première partie de cet ouvrage, nous avons démontré divers théorèmes sur les projections, mais en supposant que la figure projetée et l’axe de projection étaient dans le môme plan. L’objet de ce chapitre est d’étendre ces théorèmes à des figures situées d’une manière quelconque dans l’espace.

403. Projections des lignes. DÉFINITIONS. I. La projection d’un point sur une droite est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.

II. La projection d’une droite déterminée de longueur sur une seconde droite située ou non dans un même plan avec la

première, est, en valeur absolue, la distance comprise entre les projections des extrémités de la première.

III. On peut concevoir la Fig- l61- projection A'B' d’une droite AB

sur un axe OX (fig. 161)commeengendréeparlaprojectionM'd’un point mobile M qui parcourrait AB, en allant de A vers B ou de B

vers A. Nous considérerons comme positive la projection Â'B' lorsqu’elle sera engendrée par le point M' se mouvant dans un sens déterminé sur l’axe, par exemple suivant OX, et comme négative dans le cas contraire.

Nous conviendrons d’indiquer le sens du mouvement du point M, et par suite celui du point M', par l’ordre des lettres de la droite projetée. Ainsi, quand nous dirons qu’on projette AB, nous entendrons que le point mobile va de A vers B.

D’uprès ces conventions , on pourra écrire

proj. AB = — proj. BA.

IV. L’angle de deux droites situées dans des plans différents sera l’angle formé par des parallèles à ces droites menées par un point quelconque de l’espace, et dirigées dans le sens indiqué par l’ordre des lettres.

Ainsi, si par un point C de l’espace (fig. 161), on mène CD parallèle à AB et dans le sens AB, CE parallèle à OX et dans le sens OX, l’angle DCE sera appelé l’angle de AB et de OX. Nous le désignerons quelquefois par (AB, OX). D’après ces conventions, on aura :

angle (AB , OX) = angle (BA , XO) angle (AB, OX) = 180* — angle (BA, OX) angle (AB, OX) = 180° - angle (AB, XO).

V. Lorsque plusieurs droites AB, BC, CD, DE, EF (fig. 164), situées ou non dans le même plan, sont placées à la suite l’une

de l’autre, on appelle résultante la droite AF qui joint les extrémités de cette ligne brisée et qui ferme le contour.

40G. Théorème I. La projection d'une droite AB sur un axe OX (fig. 162) est représentée, pour la grandeur et pour le signe, par la longueur absolue de la droite Mi, multipliée par le cosinus de l'angle formé par les droites AB et OX.

Supposons d’abord que l’angle (AB,OX) soit aigu, et que les

THÉORIE DES PROJECTIONS

projections positives soient comptées de O vers X. Soient A' et B' les projections de A et de B. Menons par BB1 un plan P perpendiculaire à OX, et, par le point A, la droite AG parallèle à OX et terminée au plan P.

La ligne AA' est perpendiculaire à A'B' et par suite parallèle au plan P. 11 en résulte que AC = A'B’. Mais le triangle rectangle ABC donne

AC = AB cos BAC = AB cos (AB, OX);

donc proj. AB = -J- A'B' = AC = AB cos (AB , OX) ,

ce qu’il fallait démontrer.

Si AB faisait avec OX (tig. 163) un angle obtus, on aurait, en faisant les mêmes constructions,

A'B' = AC = AB cos (BA , OX) ;

rig. 163. mais (AOiî, IV)

cos (BA, OX) = cos [180° — (AB , 0X)]= — cos(AB, OX).

Donc proj AB = — A'B' = AB cos (AB, OX).

Ainsi, dans tous les cas, AB cos (AB, OX) représente, pour la valeur absolue et pour le signe, la projection de AB.

Ttiéopkmk II. La somme (algébrique) des projections de plusieurs v droites consécutives sur un axe OX est

parcoure la droite AF de A vers F.

La projection M’ de M ira de A' en F, en se mouvant de O vers X ou de X vers O, suivant que les côtés parcourus par M feront

avec OX des angles aigus ou obtus. Mais comme M' parti de A' s’arrête en F1, il est clair que la somme des chemins faits dans le sens OX doit surpasser de AT la somme des chemins parcourus dans le sens opposé. Donc AT est égal à la somme algébrique des projections des différents côtés de la ligne polygonale. Or AT est la projection de AF sur OX; le théorème est donc démontré.

Corollaire I. La projection d’un contour fermé sur un axe, parcouru par un mobile dans un même sens, est égale à zéro.

En effet , d’après le théorème que nous venons de démontrer, on a

proj. AB .... F = proj. AB.

Mais proj. AF = — proj. FA ,

donc proj AF + proj AB F = proj AB FA = 0.

Corollaire II. Si on appelle a, b,c...f les longueurs absolues des côtés du contour, et a , p, . .<p les angles que ces côtés font avec OX , on aura

a cos a + b cos p -j- c cos y -J- . . . -f- /‘cosç = 0 .

Théorème III. La somme des carrés des projections d'une droite stir trois axes rectangulaires est égale au carré de celle droite.

Soient OX, OY, OZ (fig. 165), les trois axes considérés. Menons OM parallèle et égale à la droite donnée. Les pro- - — ^ jections de OM sur les axes seront évidemment les mêmes que celles de cette droite.

Fig. i65. Ceci posé, il est visible que la droite

OM est la diagonale d’un parallélipipède rectangle dont les arêtes OA, OB, OC sont les projections de OM sur les axes. On aura donc, d’après un théorème de géométrie élémentaire

OM* = OA* -j-OB -j- OC [1]*

ce qu’il fallait démontrer.

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Théorème IV. La somme des carrés des cosinus des angles qu’une droite fait avec trois axes rectangulaires est égale à l'unilè.

Désignons (fig. 165) les angles MOA, MOB, MOC par a, p, y. On aura OA = OM cos a , d’où