PE PD

PE X PF = CP X PD ou =

Cette relation, nécessaire pour que la section EMF soit un cercle, est aussi suffisante. Or, elle est vérifiée si les deux triangles CPE, DPF, sont semblables, ou, ce qui revient au même, si l’angle F est égal à l’angle C. Donc la section faite dans un cône oblique à base circulaire, par un plan non parallèle à sa base, sera une circonférence de cercle si le plan de celle section et le plan de la base du cône font, avec les génératrices de la section principale, des angles respectivement égaux.

Remarques. I. L’angle F étant égal à l’angle A, si l’on retournait le triangle SEF de manière que le point F fût placé sur la génératrice AS, la section EMF serait parallèle à la base du cône; c'est pour cette raison qu’on lui a donné le nom de section antiparallèle.

II. On démontrerait de la même manière que, dans un cylindre oblique à base circulaire, il existe aussi deux systèmes de sections circulaires.

463. Application. La méthode des projections stcrêographiques , dont on fait usage dans la construction des mappemondes, est fondée sur la propriété de la section antiparallèle.

Soient ASB (fig. 160) la section principale d’un cône oMique à base circulaire; 0 le centre du grand cercle de la sphère circonscrite à ce cône déterminé par le plan ASB. Menons le diamètre SK ; tout plan perpendiculaire & SK coupe le cône suivant une circonférence. En effet, soit MN la traoe sur le plan ASB d’un plan quelconque perpendiculaire à SK. L'angle C a pour mesure la demi-somme des arcs AM et SN , ou , à cause de SN égal k SIS , la moitié de l’arc AS; mais l’angle B a aussi pour mesure la moitié de l'arc AS; donc l’angle C est égal à l'angle B. La section faite est antiparallèle; doncc'est un cercle.

On appelle projection stcréographique d’un point À de la sphère sur un plan perpendiculaire au diamètre SK, le point C où la droite SA perce ce plan. Il résulte de ce que noue venons de démontrer, que dans ce système de projections un cercle est représenté par un cercle. Ce système offre encore d'autres avantages dans le détail desquels nous n’avons pas i entrer.

Exercice. On mène les tangentes AS’, BS’ et la ligne SS’; démontrer que le point I est le centre du cercle qui a CD pour diamètre.

Problèmes I. Trouver l’équation des sections planes d’un cône oblique. — Idem d'un cylindre oblique.

II. Trouver le lieu géométrique des foyers des sections planes d'un cône droit obtenues en faisant tourner le plan sécant autour d’un point d’une génératrice et perpendiculairement au plan déterminé par cette génératrice et laie du cône. — Trouver le lieu des centres des mômes sections.

ni. Équation de la courbe formée par une section plane d’un cône quand on dételoppe ce cône sur un plan.