OM

et, à cause de l’égalité [1] ,

COS* a + cos’ P + COS* Y = 1.

Théorème V. Le cosinus de l’angle de deux droites est égal à la

somme des produits des cosinus des angles que ces droites font avec trois axes rectangulaires.

Soient OA et OA' (fig. 166) les droites données; a, p, Y; a’, p', Y' les angles qu’elles font avec trois axes rectangulaires OX, OY, OZ; et V l’angle (OA, OA').

F>s- Prenons OA pour unité; menons

AP perpendiculaire au plan XOY ; PQ perpendiculaire sur OX. Alors on aura

OQ = cos a, PQ=cosp, AP = COS Y-

Si on projette le contour OQPA et sa résultante OA sur OA', on aura

cos V — OQ cos « -f- PQ cos p' -j- AP cos y ,

OU COS V = COS a COS ot' -f- COS j5 COS P’ -j- COS Y cos y' ;

ce qu’il fallait démontrer.

Problème. Étant données les projections p , q , r d’une droite sur trois axes rectangulaires , trouver la longueur de cette droite et les angles que sa direction fait avec les axes.

Soient D la longueur de la droite cherchée et a, p, y les angles qu’elle fait avec les axes; on aura, en vertu des théorèmes précédents,

-JL — =* d

COS a COS P COS Y

d’où l’on tire

COSJ a C0S*P COS’y 1 ’

par suite D = y p ’ -f- g* -f- r*

COS a = ■■ - — , fOS S — ■ ^ — , COS Y = — .

vp’+y+r' v>*+y+''! \'p'-

407. Projections des aires. DÉFINITIONS. I. La projection d’un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.

II. La projection d’une ligne sur un plan, est le lieu des projections des différents points de la ligne sur le plan.

Remarque. Les perpendiculaires menées des différents points d’une même ligne droite sur un plan étant dans un même plan perpendiculaire au premier, on en conclut que la projection d’une ligne droite sur un plan est une ligne droite.

THÉORIE DES PROJECTIONS

III. La projection d’une aire plane sur un plan est l'aire limitée par la projection du contour de l’aire plane.

Le plan sur lequel on projette prend le nom de plan de projection.

40tt. Théorème I. La projection d’une droite sur un plan est égale à la longueur de la droite multipliée par le cosinus de l'angle aigu que la droite fait avec le plan.

En effet, la projection d’une droite AB sur un plan P, n’est autre chose que la projection de AB sur la droite A'B', qui résulte de l’intersection du plan P et d’un plan Q mené par AB perpendiculairement à P. On a donc (en valeur absolue)

A'B' = AB cos (AB, A'B').

Mais l’angle (AB, A’B') est par définition l’angle de la droite AB et du plan P ; le théorème est donc démontré.

Théorème II. La projection d'une aire plane sur un plan est égale „* au produit de cette aire par le cosinus de l'angle des deux plans.

Démontrons d’abord ce théorème pour le cas d’un triangle :

1° Supposons d’abord que le triangle ABC situé dans un plan P' Fig. i6T. (fig- 167) ait un de ses côtés BC

dans le plan de projection P. Soit A' la projection de A. Menons AD perpendiculaire sur BC. D’après un théorème connu, A'D est perpendiculaire àBC : l’angle ADA' mesure donc l’angle des deux plans P et P'.

. . nr BC X AD

Or on a • aire ABC = ,

aireA'BC: