BC X A'D

mais

A’D = AD cos ADA' :

donc aire A'BC = aire ABC X cos ADA' = aire ABC cos (P, P') ;

ce qu’il fallait démontrer.

2° Supposons en second lieu un triangle placé d'une manière quelconque par rapport au plan de projection; transportons ce dernier parallèlement à lui-même jusqu’à ce qu’il passe par un sommet B du triangle , ce qui ne change rien à la projection du triangle ni à l'angle que les deux plans font entre eux.

Soit alors BE (fig. 168) l’intersection des plans P et P'. Prolongeons AC jusqu’en E, et soit C' la projection du point C.

D’après ce que nous venons de voir, on aura A'BE = ABE cos (P, P),

BC E = BCE cos (P, P').

Donc A'BE — BC E = (ABE— BCE) cos (P, P')

ou A'BC’ = ABCcos(P, P);

ce qu’il fallait démontrer.

3° Soit ABCDE un polygone situé dans un plan P, et A'B'C D'E' sa projection sur le plan P'. On aura , en décomposant le polygone proposé et sa projection en triangles,

A'B'C' = ABC cos (P, P')

A C’D' = ACD cos (P, P')

A’D’E’ = ADE cos (P, P').

D’où , en ajoutant, A'B'C'D'E' = ABCDE cos (P, P').

4° Si l’aire plane considérée est terminée par une couibe, on pourra la considérer comme la limite d’un polygone inscrit. Le théorème démontré s’étendra donc à ce nouveau cas, puisqu'il est vrai, quelque grand que soit le nombre des côtés du polygone inscrit.

THÉORIE DES PROJECTIONS

Théorème III. La somme des carrés des projections d'une aire plane sur trois plans perpendiculaires deux à deux est égale au carré de cette aire.

Ce théorème est une conséquence du précédent et du théorème III du n“ 406. Nous laissons aux élèves le soin de le démontrer.

Remarque. Dans tout ce qui précède, les projeclions des aires sont prises en valeur absolue. Quelques théories de mécanique, particulièrement celle des mouvements de rotation, conduisent à considérer ces projeclions comme positives ou négatives. Voici alors la convention qu’on adopte :

Une perpendiculaire étant menée au plan de projection P est considérée comme positive si elle est située d’un côté de ce plan, et comme négative si elle est située de l’autre côté. Nommons celle perpendiculaire l’axe du plan de projection. Élevons, d’un côté déterminé du plan Q de l’aire projetée A, une perpendiculaire que nous nommerons aussi l’axe du second plan. Alors l’angle V du plan Q et du plan P sera l’angle formé par l’axe du plan Q et avec la partie positive de l’axe du plan P. La projection de l’aire plane sera encore représentée par AcosV; et elle sera positive ou négative, suivant que l’angle V sera aigu ou obtus.

Si, de plus, on prend sur l’axe du plan Q une longueur proportionnelle à l’aire A, on voit que AcosV pourra être considéré comme la projection de cette droite sur l'axe du plan P. En sorte que la projection des aires sera ainsi ramenée à la projection des droites et offrira les mêmes propriétés.

•409. Applications. L’importance des projections en Géométrie pure et en Mécanique nous engage à traiter encore quelques questions qui s’y rapportent.

Théorème. La projection d'une droite sur une autre peut t'obtenir en projetant la première sur trois aces rectangulaires, et en faisant la somme algébrique de cet projections projetées elles-mêmes sur la seconde droite.

Soient A et B les directions des deux droites considérées, directions définies par les angles, », p, y et X, |i, v, qu'elles forment avec trois axes fixes; et soient p , q , r les projections sur ces axes d’une longueur l prise sur la première droite. On aura

p=z{cosa, q = J cos p, r=Icosy;

GÉOM. ANAL. 25

386 GEOMETRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS, si l'on projette p, q , r sur la droite B, on obtiendra les projections IcosucosX, Icospcosp, Icosycosv, dont la somme l(cosacosX 4- cospcosp4-cosycosv)

est égale à l cos V.;

en appelant V l’angle des deux droites, et en se rappelant qne l'on a (4M, th. V)

cos V = cos acosX + cos p cos p 4- cos y cos -v.

Mais, icosV est la projection de I sur B; le théorème est donc démontré.

■Remabque. On a un théorème analogue pour les aires, en remplaçant les angles des droites par les angles des normales aux plans de ces aires.

Théorème. Plusieurs droites déterminées de longueur et de direction étant situées d'une manière quelconque dans l'espace, il existe une drotfr, déterminée de grandeur et de direction, telle que sa projection sur un axe quelconque est égale d la somme des projections des droites données sur le même axe.

Soient l (a, P, y) , l' (»'. P'* Tr') les longueurs proposées et les angles qui dé-

finissent leurs directions par rapport à trois axes fixes, et soit D (X, p, v) une droite quelconque. Posons •

A=lcosi -f Tcos «' + ... .

B =r Icos p 4- l'cosp' 4- ....

C i cos y l'cosy'4" —

D'après le théorème précèdent, la somme des projections des droites données sur D sera

A cosX 4- B cosp 4- C cos v

ou V A’ 4- BJ 4- c3 jyy£i + 1J, +C3 °°Sl + V A--|- ü’4-1.1 *l+ v'A1 4- B' 4- C'

Si nous posons A’-i-B’-f C3a=B’, il Tient

[V B Cl

-cosX 4--COS p4-jjCos vj fl].