ABC

Or les trois rapports — , — , — sont moindres que l’unité, et la somme de leurs Il K H

carres est égale à 1 : on peut donc les considérer comme les cosinus des angles qu’une droite E ferait avec les axes, et poser

— = COS Xi , - = cosp,, -=COSv,;

l'expression [1] se réduit alors à

B feos X eosX 1 4- cos pcos pi cos v cos v,] , ou à RcosV,

THÉORIE DES PROJECTIONS

V étant l'angle des droites D et E. Mais Rcos V est la projection , sur la droite D, d'une longueur déterminée R, dirigée suivant la droite E, le théorème est donc démontré.

Revarqce. Si l’on transporte les droites l, t , etc., parallèlement à elles-mêmes de manière & former un contonr polygonal, leur résultante, c'est-à-dire la droite qui fermera le polygone, ne sera autre chose que la droite R.

Problème. Trouver l’are tur lequel la tomme algébrique det projections de plusieurs droites données est la plus grande possible.

Conservant les mêmes notations que dans le théorème précédent, on voit que ce théorème ramène la question à chercher la droite sur laquelle la projection de la droite R est la plus grande possible. Or, comme la projection d'une droite ne peut être plus grande que celte droite elle-même, on voit que la droite E, ou toute parallèle à E , résout le problème proposé.

Cette direction est celle de la résultante des droites considérées.

Remarques. 1. La somme des projections des droites est nulle sur font axe perpendiculaire à la droite E.

II. Celte somme est la même sur tous les axes qui font le mime angle avec la droite E.

III. On peut se poser la même question relativement aux projections des aires, et on arrive, parle même calcul, à déterminer ce que, en mécanique, on appelle le plan du maximum des aires.

Exercices. I. Théorème. Dans tout tétraèdre, faire d'une face quelconque est égale à la somme des produits des autres faces par les cosinus des angles qu'elles font arcs la première.

Ainsi, a, b, c, d désignant les aires des faces du tétraèdre proposé, on s a=&cos(a,î>) + ccos(a,c) + dcos(a, d).

Corollaire. On déduit du théorème précédent la formule

a,=b2 + c7 + d1 — î[bccos(b,e)-)-6dcos (6, d) + c d cos (e,d) J.

II. Soit P le volume d’un tétraèdre, et 1 l’arête commune aux deux faces a et b, on a

„ 2absin(n,b)