MP = OA, MQ = OB, MR = OC
Ainsi les coordonnées d'un point sont encore les distances de ce point aux trois plans coordonnés, estimées chacune parallèlement à l’axe non situé dans le plan que fon considère.
Remarques. I. Nous désignerons en général par x, y et s les coordonnées d’un point M suivant les axes OX, OY, OZ. Par exemple, si OA = 4, OB = 3, OC =2, nous dirons que le point M a pour coordonnées
II. Nous désignerons souvent un point par scs coordonnées placées entre parenthèses. Ainsi (x', yf, z') désigne le point qui a pour coordonnées
415. Signes des coordonnées. Lorsqu’un point est donné, scs coordonnées sont par cela même déterminées. Réciproquement les coordonnées d’un point déterminent ce point, pourvu que l’on sache en outre dans quel sens ces longueurs doivent être portées sur l’axe correspondant à partir de l’origine.
En effet, portons sur les trois axes et dans le .sens indiqué les longueurs OA, OB, OC respectivement égales aux coordonnées du point. Ce point devra se trouver sur le plan parallèle au plan YOZ mené par le point A, puisque ce plan est le lieu de tous les points dont la distance au plan YOZ, comptée parallèlement à OX et située du côté indiqué de ce plan, est égale à OA. Parla même rai-
son, le point cherché sera snr deux autres plans menés respectivement par les points B et C parallèlement à XOZ et à XOY : il se trouvera donc à l’intersection des trois plans.
On voit par là que le sens suivant lequel sont portées sur chaque axe les coordonnées d’un point, constitue un élément essentiel à la détermination de ce point. Pour désigner ce sens clairement et d’une manière conforme au caractère de la langue algébrique, nous emploierons les signes -f- et — . Toute coordonnée sera représentée par un nombre affecté d'un signe : le nombre indiquera la valeur absolue de celte longueur, rapportée à une unité convenue, mais d’ailleurs arbitraire; le signe désignera le sens suivant lequel celle longueur sera comptée sur l’axe correspondant à partir de l’origine. Les définitions données au n“ 41 U ne se rapportaient qu’à La grandeur absolue des coordonnées.
Remarques. I. L’origine partage chacun des axes en deux segments infinis qu’on peut nommer la partie positive et la partie négative de cet axe. Nous désignerons toujours la première par OX, OY ou OZ. Ainsi l’inspection seule de la figure indiquera les conventions relatives aux signes, sans que nous ayons besoin d'en avertir expressément.
II. Le plan des xy partage l’espace infini en deux régions. L es d’un point situé dans l’une de ces régions est positif; il est négatif dans l'autre. Mérnc remarque relativement aux autres plans.
III. Les trois plans coordonnés déterminent huit angles trièdres. Tout point situé dans l’angle OXYZ a ses coordonnées positives ; tout point situé dans l’angle OXYZ’ a son x et son y positifs, et son z négatif, etc.
Nous engageons les élèves à former eux-mèmes le tableau des combinaisons de signes que présentent les coordonnées d’un point suivant sa position dans l’un des huit angles trièdres. Ils se familiariseront ainsi avec les diverses conséquences de l’importante convention des signes. Ils verront, par exemple, qne les coordonnées de même nom de deux points situes dans deux angles trièdres opposés sont de signes contrains; que celles de deux points symétri-
quement placés par rapport à l'origine sont égales et de signes contraires; qu’un point situé à l’intersection des trois plans bisectcurs d’un des angles trièdres a scs trois coordonnées égales en valeur absolue, etc.
414. Problème. Étant données les coordonnées X, y', zr; x", y", z" de deux points M' et M", trouver leur distance.
Si par les points M' et M"on mène des plans parallèles aux plans coordonnés, on obtient un parallélipipède dont M'M" est la diagonale et dont les arêtes sont les valeurs absolues des différences a;' — a;’, y" — y’, a* —
Quand les axes sont rectangulaires, ce parallélipipède est rectangle, et le carré de la distance M'M" est égal à la somme des carrés de trois arêtes contiguës. Ou a donc, en appelant S la distance M'M",
d’où S = v^-aO*-K!/" -!/)* + (*"— z')’-
On démontrerait en faisant varier la position des deux points donnés que celle formule est générale.
« 4iii. Quand les axes sont obliques, la question revient à exprimer la diagonale d’un parallélipipède oblique en fonction des arêtes et des angles que ces arêtes font entre elles.
Soit dans ce cas M'BRAQM’PC (fig. 170) le parallélipipède en question. Posons pour abréger
M'A =e, MB = /•, WG — g.
Appelons X, p, v les angles des axes, ou des arêtes du parallélipipède, entre eux, et a, p, y les angles des axes avec la diagonale M'M".
392 CÊOMÊTRIE ANALYTIQIE A TROIS DIMENSIONS.
Si on projette sur M'M" la ligne polygonale M'ARM*, on aura
S = e cos a -(- f cos p -|- g cos y
ou 51 = e.îcosa+/'.Scosp-|-y.5cosy [t].
Mais si l’on projette M’M" et M'ARM" sur M’A, on a
S COSa = « -|- /■ COS» -f J COS [A [2].
On obtient de même Scosp = ecosv-f /‘-j-ffCOsX [3], îcosy = ecosja + /'cosX-}-y [4].
Ces valeurs, transportées dans l’équation [1], donnent
S*= <*-}- p-\- </*-(- 2fg cosX + 2 cg cos |a-|- 2 ef cos y ,
ou en remplaçant e, f, g parx" — x’, \f — y', z" — e', et extrayant la racine carrée :
(x" — x')*+ (y" — y'j’-j- (z" — s’)*-)- 2(y" — y’) cos X
+ 2(x" — x’)(i" — z ’) cos [*-j-2(x’’ — x')(y" — y') cos v
Cette formule est générale, car on voit que si y* — y' change de signe, l’angle X change d’espèce, et par suite cosX prend un signe opposé à celui qu’il avait d’abord. Ainsi, deux facteurs du produit
(y"— y )(*"—■*') cos x
changent de signe en même temps; le signe du produit reste donc toujours explicitement le même.
Exercices. I. Prouver qu'il existe une relation entre les lignes trigonométriques des angles qu’une droite fait avec trois axes obliques. Trouver cette relation : montrer a priori qu'elle doit être du second degré.
II. line droite fait le même angle avec trois axes rectangulaires; trouver cet angle. Même problème , les axes étant obliques.
III. Une droite étant donnée par un de ses points et par sa direction, trouver sur cette droite un second point situé à une distance donnée du premier.
