Soit donnée l’équation

Soit C (fig. 172) la courbe qui, sur le plan des xy, et rapportée aux axes OX, OY, a pour équation f[x, y) = 0 ; et soit D un de ses points. Si l’on mène DE parallèle à OZ, tous les points de UE auront môme x et môme y que le point D, et par suite leurs coordonnées satisferont à l’équation [3], qui ne renferme pas z.

L’ensemble des points représentés par cette équation s’obtiendra donc en faisant glisser une parallèle à l’axe des s, de manière qu’elle rencontre toujours la courbe G. Donc

Fig. 172.

Une équation à deux variables représente une surface cylindrique dont la génératrice est parallèle à celui des trois axes sur lequel se compte la coordonnée qui n'entre pas dans l'équation.

Si f(x, y) est du premier degré, la courbe G se réduit à une droite, et par suite le cylindre à un plan ; par conséquent ,

Toute équation du premier degré à deux variables représente un plan parallèle à celui des trois axes sur lequel se compte la coordonnée qui n’entre pas dans U équation.

Exemple. 1° L'équation ^ -f | = T

représente un plan parallèle à l'axe des s. Ce plan coupe le plan des xy. suivant une droite qui rencontre t'axe des x à trois unités de distance du point 0 .

et l’axe des y à deux unités de distance du même point. Ce pian coupe le plan des y z suivant uue droite qui, rapportée aux axes OZ, OY, a pour équa- \ tion y=î.

2“ L'équation 5y=3x

représente un plan qui passe par l’axe des s.

Réciproquement. Toute surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à l'un des axes, à Taxe des z par exemple, est représentée par une équation qui ne renferme que les deux variables x et y.

Car évidemment les coordonnées de tous ses points satisfont à l'équation de sa trace sur le ptan des xy.

■410. 3" Soit enfin l’équation

Si on la suppose résolue par rapport à z, on obtiendra une équation telle que

Si l’on attribue à z une valeur déterminée h, les points de l’espace dont les coordonnées satisferont à l'équation

seront à la distance h du plan des xy, et formeront en général une courbe, qui se projettera en vraie grandeur sur ce plan; l’équation [6] sera l’équation de cette projcclfon. Si l’on fait varier r par degrés continus, on obtiendra une courbe qui variera elle-même d’une manière continue, et engendrera par conséquent une surface, qui sera ainsi représentée par l’équation [5].

Ainsi, toute équation à trois variables représente une surface.

Ajoutons que si l’équation [4] résolue fournissait plusieurs valeurs de z

la surface se composerait d’autant de nappes qu’il y aurait de valeurs de z.

Réciproquement. Toute surface est représentée par une équation qui contient en général trois variables; car, excepté le cas d’un cylindre parallèle à l’un des axes, le z d’un point sera déterminé quand on donnera les deux autres variables; z sera donc une" fonction de x et de y, en sorte que la surface pourra être représentée par

ou , ce qui revient au môme , par

420. Signification des équations simultanées. Les deux équations

représentant chacune une surface, leur ensemble représentera tous les points communs à ces deux surfaces, c’est-à-dire une ligne.

Réciproquement , toute ligne pouvant être considérée comme l’intersection de deux surfaces, pourra toujours être représentée par deux équations simultanées, et cela d’une infinité de manières.

Exemples. 1° Les équations x= 0

ax + by = c,

représentent , la première le plan des xy, U deuxième un plan parallèle à l'axe des * (417, î"): Leur ensemble représente donc une droite située dans le plan îles ry.

2* Les équations s = a

ax + by=c,

représentent l'intersection d’un plan parallèle au plan des xy et d’un autre plan parallèle à l’axe des s\ c’est donc une droite parallèle au plan des ry.

3* Les équations x=«

(x-xT-H y— yr=R5,

représentent l’une un plan parallèle au plan xy, et l’autre un cylindre à base circulaire, dont la génératrice est parallèle à l'axe des x; leur ensemble représente donc une circonférence de cercle parallèle au plan des ry.

REPRÉSENTATION DES SURFACES ET DES LIGNES. 397 Remarques. I. Si f(x, y, s) = O est l'équation d*une surface,

sera l'équation, par rapport aux axes OX, OY, de l’intersection de cette surface et du plan des xy, ou, en d’autres termes, représentera la trace de la surface considérée sur le plan des xy.

■ Plus généralement , f[xt y,«) = 0

sera l'équation de l'intersection du plan z — a, et de la surface représentée par l’équation

II. Parmi le nombre infini de surfaces qu’on peut faire passer par une ligne donnée, il y aura le plus souvent avantage à choisir deux surfaces cylindriques dont chacune soit parallèle à l’un des axes. La ligne sera représentée alors par deux équations à deux variables.

Au reste, si une ligne est donnée par deux équations contenant les trois variables, en éliminant tour à tour lune déliés, on obtiendra les équations de deux cylindres passant par la ligne considérée, et dont les génératrices seront respectivement parallèles à deux des axes coordonnés.

Plus généralement, toute combinaison des deux équations de la ligne pourra remplacer l’une d’elles.

421. De même que deux équations simultanées représentent l’intersection de deux surfaces, trois équations simultanées représentent l’interjection de trois surfaces, c’est-à-dire un ou plusieurs points, et nous revenons ainsi à une notion établie dès le commencement de ce chapitre.

L’intersection d’une ligne et d’une surface s’obtiendra en considérant comme simultanées les équations de la ligne et celles de la surface.

422. Applications. Pour éclaircir les généralités qui précèdent, nous allons les appliquer à quelques exemples.

Équations de la ligne droite. A moins qu’une ligne droite ne

soit parallèle ao plan des xy, on pourra toujours imaginer deux plans qui la contiennent, l’un parallèle à l’axe des y, l’autre à l’axe des a;, et qui auront respectivement pour équations (417, II)

x = az- j-p ) y = b: + q j

Ce seront donc les équations de la ligne droite considérée.

Si la droite était parallèle au plan des xy, les deux plans dont nous venons de parler se confondraient en un seul, représenté par une équation de la forme

mais en menant par la droite un plan parallèle à l’axe des z, on aurait une seconde équation

ax + by—c ,

qui, réunie à la première, déterminerait complètement la position de celte droite.

Ainsi, toute droite peut être représentée par deux équations du premier degré ci une ou deux variables, et réciproquement deux équations du premier degré à une ou deux variables représentent une ligne droite, puisque nous savons que de pareilles équations représentent toujours des plans, et que par suite leur ensemble représente l’intersection de ces plans, c’est-à-dire une ligne droite.

Plus généralement^ deux équations du premier degré à trois variables représentent une droite, puisqu’en éliminant tour à tour a: et y entre elles, on arrive à deux équations qui ne contiennent chacune que deux variables.

423. Le plus souvent nous mettrons les équations d’une droite sous la forme

xz=az+p 1

y — bz + q j