CO

et il importe de bien fixer la signification des constantes qui y entrent.

REPRÉSENTATION DES SURFACES ET DES LIGNES. 399 Or, si l’on suppose z = o , on obtient x=p, y = q.

Les constantes p et q sont donc les coordonnées du point où la droite- rencontre le plan des xy.

L’équation x = as -j- P

représente la projection de la droite sur le plan des xz (projection faite parallèlement à l'axe des y). L’équation

y — bz-\-q

représente de môme la projection de la droite sur le plan des yz, faite parallèlement à l'axe des x. Ainsi a et b sont les coefficients angulaires des projections de la droite sur les plans des xz et des yz.

Pour obtenir la projection de la droite sur le plan des xy, il suffirait d'éliminer x entre les deux équations [1], ce qui donnerait

424. Équation du plan. Soit OD = 5 (fig. 173) la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan ; s, p, y les angles formés par

OD avec les axes; M un point du plan. Menons MP parallèle à OZ et terminée au plan XOY ; PQ parallèle à OY et terminée à OX. Nous aurons

O Q=x, PQ— y, MP=z.

Si nous projetons sur OD la ligne polygonale OQPMD, nous aurons, à cause que la projection de MD, perpendiculaire à OD, est nulle,

x cos a -j- y cos p -j- z cos y = S.

Celte relation ayant lieu entre les coordonnées d'un point qucl-

conque du plan, est donc l'équation du plan lui-même. Ainsi r équation d'un plan est du premier degré.

Réciproquement, toute équation du premier degré représente un plan. En effet, soit

Ax -}-Bj/-{-Cï=D [S]

une équation du premier degré : prenons deux points sur la surface qu'elle détermine et joignons-les par une droite. Cette ligne pourra être représentée par deux équations telles que

ax-\-by-\-cz—d i a'x-\-b’y-\-c’z=d' )

et, d’après notre hypothèse même, les équations [S] et [D] seront satisfaites par deux systèmes de valeurs de x, y et z. Mais on sait que trois équations du premier degré qui ont deux solutions communes ont toutes leurs solutions communes. Donc, tout point situé sur la droite [D] est sur la surface [S]. Donc cette surface est un plan, puisqu'elle jouit de la propriété de contenir en entier toute droite menée par deux de scs points.

425. Équation de lu sphère. Soient (a, b, c) le centre cl R le rayon. Prenons des axes quelconques. L’équation

{x — a)' -f (y— by -f (; — c)' -J- 2 (y — b)(z— c) cos X

+ 2 (a; — a) (2— c) cos p.-|- 2 ( x — a) [y— b) cos v = RJ [1]

représentera la surface sphérique, puisqu’elle exprime que la distance d’un point Quelconque du lieu (x, y, z ) au centre (a, b, c) est constante et égale à R (415).

Quand on suppose les axes rectangulaires, on a

cosX=0, cosy = 0, cos v = 0, et l’équation se réduit à

(x-a)!+(y-fc*+(2-c)*=R*.

REPRÉSENTATION DES SURFACES ET DES LIGNES. 401 Si, de plus, l’origine est prise au centre, c’est-à-dire si l’on a

l’équation devient plus simplement

Cette dernière équation est la plus commode pour étudier analytiquement les propriétés de la sphère.

Comme cette équation ne change pas quand on change le signe d’une des coordonnées, on en conclut que la surface représentée est symétrique par rapport à chacun des trois plans coordonnés.

Quand on change à la fois x en — x,y en — y, zen— s, l'équation reste la même. Donc les points de la surface sont symétriques deux à deux par rapport à l’origine, ou en d'autres termes, l’origine partage en deux parties égales les droites qui y passent et qui sont terminées à la surface.

Si l’on donne à z une valeur constante a, l’équation à laquelle on parvient

représente la projection sur le plan des xy de l’intersection de la surface avec le plan s=a; et, comme cette intersection, située dans un plan parallèle au plan des xy, s’y projette en vraie grandeur, il en résulte que tout plan parallèle à l’un des plans coordonnés coupe la surface suivant un cercle.

L’équation [2] devient impossible si l’on suppose a’^R’, c’està-dire a> R ou< — R. Donc la surface est tout entière comprise entre deux plans parallèles au plan des xy, menés de part et d’autre de ce plan, à une distance égale à R.

Ces exemples suffisent pour montrer comment de la définition d’une surface on peut déduire son équation; et comment l'équation à son tour fait découvrir les propriétés de la surface. C’est le seul but que nous nous proposions pour le moment.

420. Représentation géométrique des fonctions de deux variables. Eiv considérant la fonction proposée et ses deux va-

GÉOM. ANAL. 26

râbles comme les coordonnées d’un point, on obtiendra une surface donl la forme sera très-propre à montrer les divers états par lesquels passe la fonction. Toutefois, comme l’exécution d’une surface en relief est bien moins facile que le tracé d’une courbe, on comprend que cette représentation des fonctions de deux variables est bien moins fréquente que celle des fonctions d’une seule variable. La construction, restée le plus souvent à l’état de simple projet, servira seulement à faire image et à faciliter la conception de certaines lois compliquées.

Quelquefois on représentera la fonction par une distance comptée à partir d’une certaine origine. Les deux variables seront assimilées à l’x et à l’y de l’extrémité de cette distance; quant à la troisième coordonnée, elle sera une conséquence des deux autres, puisque des deux relations

on tirera, par l’élimination de R, une valeur des en fonction de x et de y. Le lieu des extrémités de la droite R représentera la fonction donnée. Et si la surface à laquelle on parvient ainsi est une de celles dont les géomètres aient déjà fait une étude détaillée, chacune des propriétés que l’on en connaîtra fournira sans calcul et d’une manière intuitive une propriété correspondante de la fonction. Nous allons en donner un exemple.

Les forces élastiques appliquées en un même point d’un corps solide, et qui agissent sur les divers éléments plans menés par ce point , sont assujetties à une loi trèssimple : si F et V sont deuideces forces , N et N' les normales aiu plans sur lesquels elles agissent, la projection de F sur N' doit être égale à la projection de F' sur N.

Celte toi permet, comme nous allons le voir , de déterminer toutes les forces élastiques, en nombre Fig. 174. infini, qui sont appliquoesau même

point , quand on connaît trois d’entre elles , et les plans sur lesquels elles agissent.

En effet, supposons que OA= a, OB = b, OC = c(fig. 174) représentent, fiour la grandeur et la direction, trois forces élastiques agissant sur trois plans rectanguhires YOZ, XOZ, XOY.que nous prendrons pour plans coordonne».

Nommons o' a" a * la

b'” b' b'' les projections des droites { b »

<? <? d te

sur les axes des * y s

et « g

les cosinus des angles que la droite ON fait avec ces axes.

Soient OM une quelconque des forces, et ON la normale au plan sur lequel elle agit : proposons-nous de trouver le lieu des points M.

* La projection de OA sur ON est égale à la somme des projections des lignes a', a", a'" sur ON. On aura donc en vertu de la loi admise

x—a't +a"f+amg

il J,

et, de même,

y=V"e+b'f + Vg

x=cTe+<rr+c'g

Mais , en vertu d’un théorème connu , on a

et, en éliminant e, , g entre ces quatre équations, nous aurons la relation cherchée entre i, y et a .ou l’équation de la surface.

Pour faire cette élimination, nous résoudrons d'abord les trois premières, ce qui nous donnera

e f 9 J iM

en posant , pour abréger ,

D = o'bV + aVc" + oTc" — a’b’c”— oW— a"Vc~ ,

P= (bV— VcT)x + (o’V'— a"0 y + («T- o'b'Jx,

Q = (bV— b”V)i-t- (a'd — amc") y + (ambm - o'b”) x ,

R= (b'V— b'e")x + (oV— a'Oy + (aV— o*b")x.

De [Si , on tire

P3 Q1 R1 P3 + Q'+R3 JD3’

ou , en ayant égard à l’équation [4],

P, + QJ + R,=D3.

Telle est l’équation cherchée. On voit qu’en développant P1, 03, R3, elle sera du second degré. Elle représente une surface que nous étudierons plus tard sous

le nom d'ellipsoïde. L’équation se simplifie lorsque l'on suppose que les forces a, b, c sont dirigées suivant les aies : elle se réduit alors à

ou

b’cVd- o’c’y’4- a'c,i,= a,6,c,1

* Voy. le remarquable ouvrage publié par M. Lamé : Leçons sur la théorie mathématique été l’élasticité des corps solides.