CHAPITRE III

DE LA TRAiX SF OUM ATIOIV DES COORDONNEES.

427. Utilité de la transformation des coordonnées. L’équalion d’une surface dépend des axes auxquels on la rapporte et est plus ou moins simple, suivant le système dont on a fait choix. Ainsi la sphère qui, dans le cas le plus général, a pour équation

(x — a)' -f (y — b)' -f (5 — c)1 + 2 (y- — b) (5 — c) cos X

+ 2(;— c)(æ— a)cos ja+ 2 { x — a ) (y — b) cos v=R’

est représentée simplement par l’équation

quand on prend des axes rectangulaires et que l'on place l’origine au centre. •

L’équation du plan est

A.r-f By+Cr-f D=0

dans un système quelconque ; elle devient

lorsque le plan des xy est parallèle à ce plan; et elle se réduit même à

si l’on prend l’axe des x et celui des y dans le plan proposé.

Une ligne étant déterminée par l’intersection de deux surfaces, sera représentée par deux équations plus ou moins simples, suivant le système d’axes qu’on aura adopté.

Ces exemples suffisent pour montrer qu’il peut y avoir avantage à passer de l’équation d’une surface rapportée à certains axes à l’équation de la même surface rapportée à d’autres axes. Le problème revient évidemment à exprimer les coordonnées d’un point, considéré dans l’ancien système, en fonction de ses coordonnées

dans le nouveau, et à substituer ces valeurs dans l’équation proposée.

Pour plus de clarté, nous supposerons qu’on ne change pas d abord tbus les éléments du système. Dans une première transformation , on déplacera 1 origine des axes sans en changer la direction; dans une seconde, l’origine restant la même, on fera varier seulement la direction des axes.

■420. Première transfor - M malien. Déplacement de

j l’origine. Soient O et O'

L % (fïg. 175) les deux origines : x, y, z ; x', y', s1 les

r'f Q coordonnées d’un point M

j / 1 dans les deux systèmes; a,

1/ p, y les coordonnées du

point O’ par rapport aux Fig. m. anciens axes.

x et x’ peuvent être considérés comme les abscisses d’un même point Q situé sur OX et rapporté tour à tour à deux origines prises sur cette droite, savoir : l’origine primitive O et l’intersection O, du plan Y'O'Z' avec l’axe OX, point dont l’abscisse, par rapport à O, est a. On aura donc, d’après la formule trouvée pour changer d’origine sur une même droite, *=*'-(-«, quels que soient d’ailleurs la grandeur et le signe de a. On obtiendra par une considération analogue les valeurs de y et de s. Ainsi l’on passera d’un système à un système parallèle à l’aide des formules

Exemple. Soit l’équatioo

Transportons l’origine au point dont les coordonnées sont a— 2, P = l, T = l;

il faut poser *=*' + 2, yssy'+l, x=*’+i,

•t, en substituant ces valeurs dans l’équation, on trouve «, + », + s',=9.

On voit que la surface en question est une sphère qui a pour centre la nouvelle origine, et dont le rayon est de 3 unités.

■420. Gomme les équations [O] renferment trois constanles a, p, y, on peut, quand ces constanles ne sont pas données, se proposer de les délcrminer de manière que l’équation transformée satisfasse à quelques conditions assignées d’avance, comme de manquer de certains termes ou d'offrir entre ses coefficients quelques relations données.

Exemple. On demande où l'on doit placer l’origine * pour que les termes du premier degré disparaissent daus l'équation

Substituant les valeurs [0] , l'équation devient

xi + ÿ” + *” + 2 (a— 4) j! + 2 (p— 3) i/ + 2 (Y— 2} x' + «’+ p* + T»= 33,

et l’on voit que les termes du premier degré disparaissent en prenant a = 4 , 3 = 3, y = 2. Alors, l'équation se réduit &

et l’on voit qu’elle représente une sphère.

450. Deuxième transformation. Changer la direction des axes sans changer rorigine. Nous subdiviserons ce cas en plusieurs autres. Mais auparavant nous devons avertir de quelques notations communes à tous les cas.

iïotalions. Les axes anciens seront toujours représentés par OX, OY, OZ; et les parties positives des axes nouveaux par OX', OY', OZ\ L’angle de deux axes, ou suivant nos conventions, des parties positives de deux axes, sera désigné par les variables relatives à ces axes. Ainsi (x', x ) désignera l’angle que l’axe des af fait avec l’axe des x. Nous poserons en outre

a — cos(x',x), a' = cos (af, y), a" = cos (x',z);

b— cos (y', x), b' = cos(y',y), b" = cos(y’,z );

c=cos(z',x), c' = cos(/,ÿ). c"=cos(s',s).

408 GÉOMÉTRIE ANALYTIQl E A TROIS DIMENSIONS.

1* Passer d'un système (Taxes rectangulaires à un système d’axes quelconques.

Si l’on projette sur l'axe OX (fig. 176) d’une part la droite OM, d'une autre le contour OQ’P'M, polygone des coordonnées du point M dans le nou- Y veau système, on obtiendra le même résultat. Or, la projection de OM sur OX est x. Les projections des trois côtés du porig. i7«. lygone OQ'P'M sont a;’ cos (a;', x),

y' cos (y’, x ), y cos (z\ x), ou axé, by\ es'-, on aura donc

x—ax' +$ -j-cr’ X

et de même y = a'x'-\-b’y'-\-c'z' | [R, Q].

Telles sont les formules demandées. Elles sont générales, parce que si l’abscisse x', par exemple, était négative au lieu d’être positive, ainsi qu’on le suppose dans la ligure, comme elle serait parcourue dans le sens opposé aux x' positifs, elle aurait pour projection sa valeur absolue — x' multipliée par le cosinus de l’angle que les x' négatifs font avec les x positifs, c’est-à-dire par — cos (x’, x). Or — x' multiplié par — cos(x', x) donne encore x'cos(x', x) ou ax'.

Remarque. Ces formules se simplifient considérablement lorsqu’on ne change que l’un des axes, l’axe des x par exemple. On a alors

6 = cos (y',x) = 0, b' = cos(y\y)=l, b" = cos (y',z)= 0, c = cos (i',x) = 0, c' = cos (*’, y) = 0, c"=cos (*',-)= I, et les formules deviennent

x—ax', y=a'x' + y'

Exemple. L’équation

*’+3y*— 4®*— yx— 4ry = 20,

représentant une surface rapportée à des axes rectangulaires, la rapporter à d'autres axes définis par les valeurs suivantes :

c = i, d=\, cT=l

On remarquera que les trois cosinus renfermés datis une même ligne, et qui se rapportent aux angles qu'une même droite fait avec trois axes rectangulaires, sont tels que la somme de leurs carrés est égale à 1, comme cela doit être.

Cela posé, les formules de transformation qu'il faut employer sont

*=î*'+w+ii',

En substituant ces valeurs dans l’équation de la surface, on trouve *,+tty,+i',+Hy'*'+V*'a'+H*'y'+20=a

451. 2° Passer d'un système d'axes rectangulaires à un autre système <f axes rectangulaires. Les formules sont encore

x=ax +fcj/' -\-cz? j y=a'x’+b’y'+c'z' LR, R'];

x = a'y+6*y+cV )

mais outre les relations

qui expriment que les premiers axes sont rectangulaires, on a encore les suivantes qui expriment que le cosinus de l’angle formé par deux axes du second système est nul

ac -(- ad -f- d'd' = 0 l [2]

bc+b'c' + b"c" = 0 \

de sorte qu’il existe six relations entre les neuf cosinus a, a' etc.

Il n’y aura donc d’arbitraire que trois de ces constantes. C'est en effet ce dont on peut se convaincre A priori. L’axe des x1 est déterminé par les angles (xf, x) et (ar\ y) qu’il forme avec deux des axes primitifs. L’axe des y’ devant se trouver dans un plan perpendiculaire à l’axe des xf, il suffira, pour l’obteuir, de connaître l’angle (y',x) qu’il forme avec l’axe des x. Enfin, les deux premiers axes étant déterminés, le troisième l'est entièrement, puisqu’il doit être perpendiculaire au plan des deux premiers. On ne peut donc assujettir le nouveau système qu’à trois conditions distinctes.

Remarques. I. Pour repasser du nouveau système à l’ancien, on remarque que a, b, c; a', b', c'; a", b", c" sont les cosinus des angles que les anciens axes font avec les nouveaux. On a donc

x' = ax -f- a' y -f- a" s J y' =bx + b' y -f- b" z [ z‘ = cx + c’y-f c"z)

formules qui entraînent les équations de condition

aa' -f- bb' ce' — 0 i aa' -f bb" + ce" =o[ n'a' -f- b' b" + c'c" = 0 )

II. Comme trois des neuf constantes n, a', etc., sont arbitraires, les équations [3] et [4] ne peuvent former un système distinct de celui des équations [l] et [2]; elles doivent donc en être une conséquence. On peut, en effet, s’en convaincre par les transformations suivantes :

Si l’on élève au carré les équations [U, R'] on aura, en ayant égard aux équations [l] et [2],

En opérant de même sur les équations [R', R], on trouve

( (a* -f 6* + c* ) *»+ 2 (a'a" -f IV + cY) yz

x" + y** -f sP = J + (a'1 + 6” +cV + 2 (««" + bb" + cd’ ) xz '+(«n + ^"‘+0-,+ 2(aa' +bb' + cc')xy.

Or, le second membre devant être égal à x* quelles que

soient les valeurs des indéterminées x, y, z, on voit que l’identification de ces deux expressions entraînera les équations [3] et [4].

452. 3' Passer d'un sysicme d'axes quelconques à un système d'axes quelconques. Menons les droites ON, ON', ON" respectivement perpendiculaires aux plans YOZ, XOZ, XOY, et situées chacune du côté positif de l’axe qui n’est pas dans le plan considéré. Désignons par (N, x), (N, x'), etc., les angles que ces droites font avec les parties positives des axes.

Si l’on projette sur ON les polygones des coordonnées OQPM, OQ'PM qui ont mêmes extrémités, on aura la môme projection. Mais comme y et z sont perpendiculaires à ON, la projection du premier contour se réduira à x cos (N, x). On aura donc

xcos(N, æ)=a:'cos(N, x')-\-y’ cos (N, -'cos(N, z1) de même

y cos (N', y) = x' cos (N', x') + y cos(N', y’)-(-c'cos(N',z') z cos (N", z) —x cos (N", x') -f y' cos (N", y') -z' cos (N", z')

Ces formules sont rarement employées, à cause de leur complication. On verrait facilement qu’elles renferment les formules [R, Q] et [R, R'J.

455. Transformation générale. Si maintenant on veut changer à la fois l’origine et la direction des axes, il faudra combiner les formules [0] et [Q, Q'] et l’on aura

x=z-\-ax’ -j-fcy' -j-cs' l y =p+aV -)-b'y' -\-c'z > z=Y + nV + 6"y'+cV)

dans lesquelles a

cos (N, a:') cês (N, x)1

cos (N, y') cos (N, x/

etc.

fG],

Remarques. I. Les valeurs de x, y, s. Urées des formules [G], sont du premier degré en a/, y', s' : leur substitution dans une équation n’en peut donc pas élever le degré. Elle ne peut pas l’abaisser non plus, puisqu'il faudrait que ce degré s’élevât en revenant du nouveau système à l’ancien.

On voit par là que le degré d’une équation est un caractère permanent de la surface qu’elle représente ; c’est-à-dire un caractère qui subsiste quel que soit le système d’axes adopté. On peut donc le prendre pour fondement d’une classification des surfaces algébriques, analogue à la classification des lignes dans la Géométrie analytique à deux dimensions. Ainsi, une surface algébrique sera dite du mm* degré ou du mmt ordre lorsque l’équation qui la représente sera du mra* degré.

II. Pour avoir l’intersection d’une droite avec une surface du m™ degré, il faut combiner deux équations du premier degré avec une équation du m™. Un pareil système ne peut admettre plus de m solutions, donc :

Une ligne droite ne peut rencontrer une surface du m1*"' degré en plus de m points.

III. Pour avoir l’intersection d’une surface de mmt ordre avec un plan, il suffira de prendre ce plan pour plan des x'y' et de faire z' = 0 dans l’équation transformée. Or cette dernière est aussi du m"* degré, donc :

Une surface du mm* ordre ne peut être rencontrée par un plan suivant une courbe d'un ordre supérieur au mra*.

Il en résulte que, si l’intersection de deux surfaces est plane, elle ne pourra être d’un ordre supérieur à l’ordre de la surface dont l’équation est du degré le moins élevé.

431. Formule» d'Euler. Les formules [R, R'J ont l'inconvénient de ron- * fermer neuf constantes entre lesquelles existent six équations de conditions, de sorte que leur emploi nécessite des éliminations pénibles. Euler a donné des formules moins simples, mais dans lesquelles n’entrent que trois constantes, nombre suffisant pour fixer la position du second système par rapport à l’ancien.

Ces constantes sont :

!• L’angle •}< que la trace OX, fig. 177) du plan X’OY’ sur le plan XOY fait avec

l'axe des X; 2* l’angle 8 des ptans XOY et X'OÏ', angle déterminé par les parties positives des normales OZ, OZ' à ces plans; 3* l’angle ç de OX, avec la partie

positive de l’axe des x\

Cela posé, on passera du système proposé au nouveau, par trois changements successifs qui, ayant en commun, avec le système précédent, un axe, et le plan opposé, n’exigeront que les formules du changement d’axes situés dans le même plan,

1* On fait tourner dans leur plan, et de l’angle 4», les deux axes OX, OY, et l’on obtient le système OXi, OY,. Soient z„ y,, z les coordonnées d’un point dans ce nouveau système. On aura entre z, , y, et x et y les relations

Fig. 177.

z=X|Cos^ — y, sin<]/ 1 y=*isin<]/ + y,cos4> j

2" On fait tourner dans leur plan, et de l’angle 8, les deux axes OY, et OZ, l’axe OZ sera ainsi amené en OZ' et OY, en OY,. On passera des coordonnées z,, y,, ! du système précédent aux coordonnées x,, y,, V du nouveau système , par les formules

y,=y,cos8 — x'sinB 1 l =y,sin8-4-s'cos6 (

3” On fait tourner dans leur plan, et de l’angle f , les deux axes OY, et OX, , ce qui amène OX, en OX’ , OY, en OY'. Les formules de transformation seront

z,=z'cosf — y'sinç y,=z'sin ç -f /cosif

rsi-

L’élimination de x,,yi,y, entre les équations [1|, [21, [3J donnera les formules suivantes, qui sont celles d’Euler,

x = x'(cosi}icosç — simtisinçeosS \

+ y'( — cos^sinï — sin^cospcosS) j -f z'sin 6 sin •$/ f

y=x'(sin<j/cos? + cos>lisinf cos6) > [*]•

+ y'( — sini^sinif + cos<l>cosycos8) i — j'sinécos'j/

*=z'sin8sinç+y'sin8cos!p+z'cos8/

La comparaison de ces formules et des formules [R, R'] permet d exprimer

4 Ut géométrie analytique a trois dimensions.

les neuf cosinus en fonction des lignes trigonométriques des augles auxiliaires On aura

a = costjicosj — siniJisinycosO b = — cos^sinç — simJicosçcosO c = sin fl sia 9

a' = sin^cosç + cosd/sinçcosO

V — — sinij/sinç + cos^cosçcosO

c' = — âin0cos4<

a*= sin 6 sin 9

lf= sinOcosy

cn= cos 8.

Remarques. I. On passe de la valeur de a à celle de 6, de a' à V, de a" à en changeant 9 en 9 + ^. On passe de b à c, de V à c', de b" à c”, en faisant 9=0,

•JZ

et en changeant 6 en 8 + -.

On passe de a à a' en changeant en ? — ^ et 9 en ir + 9; de a' à a" en faisant y = 0, et en changeant 6 en j — 8.

11. Les angles 8, 9, 9 se déterminent en fonctions de quelques-uns des cosinus par les formules suivantes, qui méritent d’être remarquées.

fl* C

cos8 = c" , tang9 = jj5, tang^ = — p.

45S. Formules pour les sections planes. Les

formules d'Euler permettent de trouver l’équation de la section faite par un plan dans une surface.

~ Les notations restant les mômes, si l’on prend OXi (Gg. 177) pour axe des x, et pour axe des y une perpendiculaire à OX,, menée dans le plan sécant, il suffira de faire dans les formules [E], 9 = 0, *'= 0.

Mais on peut y arriver directement de la manière suivante : Soient M (*, y, z) (lig. 178) un point de la section considérée

et OX' la trace du plan coupant sur le plan XOY; soient d’ailleurs MP=~-, MQ = (/', PQ = y", OQ=x'; PQM=0, XOX'=+.

Les coordonnées du point P sont x et y; elles seraient x' et y", si on faisait tourner de l’angle le système des axes OX et OY. On aura donc

a:=x'cos4' — y" sin |

y = a;’ sin - j- y" cos •£.

Mais le triangle MPQ donne

i/=y' cos 0, z=y' sin 0,

les formules cherchées seront donc

x=x' cos — y' sin<|» cos 0j

y=x' sin y' cos \ cos 6 V [SP].

z = y’ sin 0 )

Remarque. On a supposé que le plan sécant passait par l’origine, condition que l’on peut toujours remplir en transportant l’origine dans ce plan.

Exemples. 1* Si la surface a pour équation en coordonnées rectangulaires **+»’+ ï=l

et que l’on prenne un plan sécant incliné de 30* sur le plan des xij , et dont la trace ypr ce plan fasse avec OX un angle de 45* , on aura

sin <t* = cos'{> = 'i vî ; sin 6 = J, cos 6 = ] y3, et les formules de transformation seront pour ce cas

v'ï— | y' v'S y = i* V2 + lÿ' V Ô i = Sÿ'

La substitution de ces valeurs conduit à l’cquation qui représente une ellipse.

2° On demande si la surface représentée par l’équation

peut être coupée suivant un cercle, par un plan mené par l'origine.

Bn substituant dans cette équation les valeurs de x, y,x fournies par les formules fSP], ou aura

„ ( , sinMA , „ I . ,, „ , cosM/cos1# , sin’OX

i" f cos’^-t- — — J + y* ( sm’i)/ cos’ï + g h

— V •t'y' s i n <|/ cos cos 9 = 1 .

Il faut d'abord que le terme en t'y' disparaisse, ce qui peut se faire en supposant

soit sin >|i = 0, soit cos^ = 0, soit cos 0=0.

Si l'on suppose sin <Jc=0, le coefficient de z" est l'unité. Le coefficient de xf1 devant lui être égal, on aura

cos’9 | sin’O ,

d'où l’on tire — 5cos’0 = 27, équation absurde. On verrait de même qu'on ne peut supposer cos <)«=0.

Mais si Ion fait cos(i=0, les coefficients des carrés deviennent égaux en posant

,, sinMi 1

ce qui donne

d'où tang^=¥. Ung-î- = ±v/Ç-

Il y a donc deux plans passant par l’axe des X, également inclinés de part et d’autre sur le plan XOZ, et qui coupent la surface suivant un cercle. Ces deux cercles sont égaux et leur rayon est l'unité de longueur.