CHAPITRE IV
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
$ I. PROBLÈMES SUR LES LIG!* RS DROITES
456. Nous nous proposons de consacrer ce chapitre à la résolulion de quelques problèmes que l’on rencontre le plus fréquemment dans les applications. Nous commencerons par les problèmes sur les lignes droites; mais auparavant nous étudierons tout ce qui concerne la position d’une droite par rapport aux axes et aux plans coordonnés.
457. Équations de la ligne droite. Dans ce qui suit, nous représenterons toujours une ligne droite par l’ensemble de deux équations de la forme
x—az-^p'i y = bz + q\
dont l’une (423) représente la projection de la droite sur le plan des xz, et l’autre sa projection sur le plan des yz. En éliminant z entre ces équations, on obtient
équation de la projection de la droite sur le plan des xy.
On trouvera quelquefois commode d’écrire les équations de la droite sous la forme
Les équations [l] se simplifient lorsque la droite occupe certaines positions particulières par rapport aux plans coordonnés. Ainsi, lorsqu’elle passe par l’origine, p et q sont nuis et les équations [1] se réduisent aux suivantes :
ou
GÉOM. ANAL.
x = az, y=bz,
Si la droite se confondait avec l’axe des -, ses équations seraient
Le lecteur fera bien de chercher, comme exercice, les équations d'une droite dans toutes les positions remarquables qu’elle peut occuper par rapport aux plans coordonnés.
Remarque. Les équations les plus générales de la ligne droite renferment quatre constantes arbitraires; mais, comme ces constantes sont liées par deux équations, il en résulte qu’une droite est déterminée analytiquement par deux conditions.
458. Traces d'une droite. Étant données les équations d’une droite
on obtiendra ses traces sur l’un quelconque des plans coordonnés, en égalant à zéro, dans ces équations, celle des variables qui se rapporte à l’axe non situé dans le plan que l’on considère. Ainsi,
en faisant z = 0, on obtient
pour les coordonnées de la trace de la droite sur le plan des xy. En faisant successivement x = 0 et y = 0 on aura les coordonnées des traces sur les plans des yz et des xz.
439. Problème. Connaissant les équations d’une droite, trouver sa distance à Coriyine (coordonnées rectangulaires).
Soient
y = bz+q)
[IJ
les équations de la droite, M (x', y1, z') un de ses points : nous avons (414)
OM = ^ a;'* y’* -f- z'.
DE LA LIGNE DUDITE ET DU PLAN. 419
et, le point M étant sur la droite, nous avons aussi x’ = az'+p,
V' =bz'+q,
d'où, en remplaçant x' et \j par ces valeurs,
OM = ^ (a’ + &*+ lJs'’+2(op-f-6ç) s' + p* + q'.
En donnant à z1 une valeur quelconque, cette formule ferait connaître la distance de l’origine au point de la droite déterminé par cette valeur de z’. On aura donc la distance S de la droite à l’origine ou la longueur de la perpendiculaire demandée, en cherchant la valeur minimum de OM.
Pour la trouver, j’écris
ap -\-bq
Va’ +6*+ ap 4- bq
OM,= U'a’+6,+ l.z'+;
= (Æ+îr+T.y+Vw.
On voit par là que OM* atteint sa valeur minimum lorsqu’on a
Y, p' + 'f + ( bp — aq y l)’r aï + 6*+l
ap + bg
de sorte que
+ <I*+(bp — aq)1 o*+6*+l
On arriverait aux mêmes résultats en égalant à zéro la dérivée de OM, par raport à z' (HO).
440. Problème. Connaissant les équations d’une droite , trouver ses distances aux axes (coordonnées rectangulaires).
Soiï a la distance de la droite à l’axe des x. Cette droite étant située dans le plan qui a pour équation
y = bx+q [1],
et qui est parallèle à l’axe des x, sa distance à l’âge des x sera
égale à la distance de sa projection sur le plan des zy, à l’origine. Or, cette projection, rapportée aux axes OY et OZ, est représentée par l’équation [1]. La question est, donc ramenée à trouver la distance de l’origine à cette droite; ce qui, d’après une formule de la première partie (7 (J), donnera
On trouvera d’une manière analogue ? V'a’+l’
bp — aq
't~jâr+b''
44 t. Problème. Connaissant les équations d’une droite, déterminer les angles de cette droite avec les axes des coordonnées (coordonnées rectangulaires).
Menons par l’origine une parallèle OM (fig. 179) à la droite donnée. La question revient à calculer les angles a, p, y que cette parallèle fait avec les axes.
r>g. n». Soient x=az, y—bx les équations
de cette parallèle, et soient oc', y', r1 les coordonnées d’un point quelconque M de cette droite. On a
xf x’
cos “ “ üm “ ^qr7qrr«-
Mais, puisque le point M est sur OM, on a aussi
x'=az\ z' =bz' ,
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
et en substituant ces valeurs de x' et y' dans cos a, il vient
cos a = -===•; y/o1 —J— 6* —J— 1
on trouve de môme cos B= - — ,
y/n* -J— fr* -J— 1 *
cos y = —
y'a’-f&'-fl
En prenant le radical avec le signe -f-, ces formules feront connaître les angles que la portion de la droite OM, située au-dessus du plan des xy, fait avec les parties positives des axes ; si l’on prend le radical avec le signe — , on obtiendra les angles que le prolongement de OM fait avec les mêmes parties positives des axes.
Remarques. I. Ces formules vérifient la relation
COS1 a -(- COS1 p -(- COS1 y = 1.
