Conditions pour qu'une droite soit parallèle & an plan
Lorsque la droite est parallèle au plan donné, le système [1] et [2] doit être impossible; ou, ce qui revient au même , les valeurs de x, y et z tirées de ces équations doivent être infinies. Donc les conditions du parallélisme d’une droite et d’un plan sont
Au -f- Bb -|- C = 0,
kp — j- Bq -j- 1) 0.
405. Conditions pour qu'une droite soit située dans tin pian.
Si la droite [1] était située dans le plan [2], toute solution de [1] devrait convenir à [2], et par suite le système [I] et [2] serait indéterminé. Les conditions demandées sont donc
Aa + Bè+C = 0,
A p -j- Bq -)- D = 0.
Remarque. La condition, pour qu’un plan soit parallèle à la droite [1], peut s’exprimer très-simplement en écrivant l’équation du plan sous la forme
x — az— p = \(y — bz — ç)-f y, [4];
et la condition, pour que le plan contienne la droite, s’obtient en écrivant
x — az — )k=X (y — bz — q) [5] .
Car on voit qu'aucune solution-dé [I] ne peut -satisfaire à [4};et, au contraire, que toute solution-dc [1] est-une solution de [&].
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN. 439
464. Problème. Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné et par une droite donnée.
L’équalion du plan demandé est de la forme
Ax -J- By “I* Cz -j- D — 0
Soit [xl , xj\ z') le point donné, et soient
x = az-\-p\ y=bz + qj
les équations de la droite donnée. On aura, entre les coefficients de l’équation [1], les trois relations
Ax' -{- By -}- G z1 -j- D = 0,
Ap -j- % -f- ü = o,
qui expriment que le point donné et la droite donnée sont dans le plan cherché (465). On en déduira les rapports de trois des coefficients A, B, G, D au quatrième, et en les portant dans [1], on aura l’équation demandée. Mais il vaut mieux traiter la question de la manière suivante.
En écrivant l’équation du plan cherché sous la forme
x — az — p = \(y-*bz — q) [3],
on exprime déjà que le plan contient la droite [2]. Pour exprimer que ce plan renferme le point donné, il suffit de substituer ses coordonnées dans [3J, ce gui donne
a;' — az' —p = \(y'—:bz,— q),
d’où, en éliminant A par division,
x — az — p y — bz — g
x' — az' — p ~~<y ’ — bz' — q‘
4Ôo. Problème. Trouver T équation d’un plan qui passe par une droite donnée D, et qui soit parallèle à une autre droite donnée D' .
Soient
x = az+p'i x = a'z+p'\
y = bz + q) LUJ’ y=b’z+q'}
les équations des droites données : l’équation du plan cherché pourra être mise sous la forme (•IBS, rem.)
x — az — p = \(y — b: — q).
ou x — Xy-f-(X& — a)z+Xg — p= 0 [P],
qui exprime déjà que le plan P contient la droite D. Pour que ce plan soit parallèle à D’ on doit avoir (402)
a' — Xi'-j- X6 — a = 0 [I],
De [1] l’on tire X = °~°, ;
cetle valeur, substituée dans l’inégalité [2], donne < a — o' , „
ou
ft étant une quantité différente de 0. Si celte condition est satisfaite l’équaliondeman dée sera
x — az — p y — bz — q
Remarques. I. Si l’équation [3] donne nî^O, le problème n’admet qu’une seule solution.
Si l’on trouve y = 0, l’équation [3] indique alors que les deux droites sont dans un môme plan, ce qui peut tenir à ce qu’elles se rencontrent ou à ce qu’elles sont parallèles. Dans le premier cas l’équation [1] fournit une valeur déterminée de X , et l’on n’obtient qu’un seul plan, savoir, celui qui passe par les deux
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
droiles. Dans le second cas, on a a = a', b = b', et l'équation [1] est satisfaite par une valeur quelconque de X, ce qui doit être, puisque alors tout plan qui passe par D est parallèle à D' .
II. En chassant les dénominateurs, l’équation [P] devient (b — è'Jx — (a — a') y -f- (ab' — ba')z =p{b — b') — q(a — a').
4GG. Problème. D'un point donné (x', y', z') abaisser une perpendiculaire sur un plan, et trouver la longueur de cette perpendiculaire (coordonnées rectangulaires).
Les équations de la perpendiculaire demandée sont de la forme
Soit Ax + By + Cz-f D = 0 [2]
l’équation du plan donné. Pour que la droite [1] soit perpendiculaire à ce plan, on doit avoir (432)
Par suite, les équations de la perpendiculaire demandée sont
Pour obtenir la longueur de la perpendiculaire, il faudrait dans la formule
remplacer x, y, z par leurs valeurs tirées des équations [2] et [3J. Mais il est plus simple de calculer les valeurs des différences x — x', y— y', z — z'. A cet effet, on écrit l’équation du plan sous la forme
A(;r - x') -f B(y — y') +C(z-*') + Ax’+Ily'-f Cz' + D = û .
En faisant le calcul, on retombe sur la formule du n° 439.
467. Problème. Mener, par un point donné (x', y', z'), un plan perpendiculaire à une droite donnée (coordonnées rectangulaires).
L’équation du plan demandé est de la forme
Soient x = as + p,
y=bz + q,
les équations de la droite donnée. Pour que le plan soit perpendiculaire à cette droile, il faut (4«2) que l’on ait
a = £, &=?, ou A = «C, B = tC.
U tl
Portant ces valeurs dans l’équation [1], et divisant par C, on aura a (x— x1) -f 6 {y — y') -f z — s' = 0.
468. ' Problème. Par un point donné (x’, y', z') mener une perpendiculaire à une droite donnée, et déterminer le pied et la longueur de cette perpendiculaire (coordonnées rectangulaires).
Soient x=az-\-pi
y = bz+q) f J
les équations de la droite donnée. Concevons, par le point donné, un plan P perpendiculaire à cette droite. Ce plan aura pour équation (467)
et son intersection avec la droite D sera le pied de la perpendiculaire demandée. Cette dernière droite s’obtiendra en joignant ce pied au point donné.
Pour trouver la longueur de la perpendiculaire, il faudrait dans la formule
remplacer x, y, z par les coordonnées du pied de la perpendiculaire, valeurs que l’ou obtiendrait en résolvant les équations
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
LD] et [PJ; mais il est plus simple île calculer les valeurs île x — x', y — y', z — Pour cela, on écrit les équations de la droite sous la forme
y — y,=b(z—z’) — y'+bz'+q.
En faisant le calcul, on retrouve les formules du n° 448.
480. Problème. Ti-ouvci • l'angle d'une droite et d'un plan (coordonnées rectangulaires).
L’angle demandé V est le complément de l’angle a de deux droites menées par l’origine, l’une parallèle à la droite donnée, et l’autre perpendiculaire au plan donné.
Soient x= az,
y=bz,
les équations de la parallèle à la droite donnée, et soit \x + Vij + Cz + D = 0
l’équation du plan donné. Les équations de la perpendiculaire à ce plan, menée par l’origine, sont (432)
On aura donc (440)
. ,r Aa+Bt+1
Sitl V — COS tt=3- . ;
Cette formule redonne les conditions déjà trouvées pour qu’une droite soit, perpendiculaire ou parallèle à un plan.
•470. PKOBtBME. Trouver la plus courte distance de deux droites, D et D', dont on connaît les équations (coordonnées, rectangulaires).
Si parda droite D on mène ut plan P parallèle à J)', «t par la droite D' un
plan P' parallèle à D , ces deux plans seront parallèles et leur distance sera égale à la distance demandée. Soient
x=as+p j y = bi + q j
fD’;
les équations des droites D et D'.
l es équations des plans P et P' seront (46S. rem. II)
(b—V)x — {a—a')y + (al/—ba)x=p ( b—b')—q (a — a'),
(b — b')x — (a — o') y + (al/ — ba')x=p'(b — b’) — q'(a — a').
Désignons par 8 et 8' les distances de l’origine aux plans P et P, et par A la distance demandée. Nous aurons, si les plans Pet P sont du même côté de l’origine. A = 8 — 8', et (4S9)
~ v'(a — uÿ + (b — b')' + (ab' — ba')'’
^ y^a — a')‘ -p (6 — b')’ + (ab' — ta'/’
par suite
(p— PO (4 — 40 — (g — <f) (a — o') tV — a’)'-f(t — b’i‘+{ab' — ba1)'" *
Si les plans P et P' étaient de part et d’autre de l’origine, ce qui, dans chaque cas particulier, sera facile à reconnaître en cherchant leurs points d’intersectiou avec l’axe des s par exemple, alors on aurait A=S' + 8. Dans tous les cas, le radical doit être pris avec le même signe que le numérateur, afin que la valeur de A soit positive.
En ayant égard aux formules des numéros (441 , rem. II) la valeur de A peut être mise sous la forme
(p — p') (cos p cos y' — cos Y cos fl') — (q — q'I (cos a cos y" — cos y cos *')
— sin V ’
V désignant l’angle de3 deux droites, et «, p, y; a\ PS yV1®s angles de ces droites avec les axes.
Rf.marqces. I. Lorsque les droites sont parallèles, on a a=o'et 6=1»'; la valeur de A se présente alors sous la forme de l’indétermination. Cette circonstance tient à ce que, dans ce cas particulier, les plans auxiliaires P et P, dont nous nous sommes servi pour établir cette formule, sont eux mêmes indéterminés. Pour avoir, dans ce cas, la distance des deux droites, il faudra d’un point quelconque de la première abaisser une perpendiculaire sur la seconde et calculer la longueur de cette perpendiculaire.
Mais oa peut encore faire disparaître cette indétermination apparente à l’aide
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
Je l’artifice suivant. Menons par le point (p', q', 0), trace de D1 sur le plan des iij, une droite E, dont les coefficients angulaires soient a — e, 6 — c, e étant une quantité indéterminée que nous ferons ensuite tendre vers 0. En remplaçant a — a' et b — b' par s, la valeur de A se présente, après réduction, sous la forme
et comme elle ne contient pas t on voit qu’elle exprimera la distance de la droite D à la droite E dans toutes les positions de celle-ci, et par conséquent lorsque e sera nul, c’est-à-dire lorsque 5 sera parallèle à D.
IL On obtiendra les équations de la perpendiculaire commune aux deux droites données, en menant par D un plan perpendiculaire à P", par D” un plan perpendiculaire à P, et en cherchant l’intersection de ces deux plans. En développant le calcul , on trouvera
[(a — a') + b (ait' — ho')] (x — p)+ [h — b'—a(ab’ — ba') ] (y — g)
(a— a') + b' (aV —6a')] (*—?') + [6 — 6’— a'(a6’— ba')j (y— q')
Exercices. I. ifenrr par un point donné une droite parallèle d un plan donné et qui remontre une droite donnée.
IL Mener par un point donné un plan parallèle à deux droites données.
III. Trouver l’équation du plan qui partage en deux parties égales l'angle de deux plans donnés.
IV. Démontrer que les droites qui joignent les milieux des côtés opposés d’un quadrilatère gauche se rencontrent.
