M = -, ON „ 0P

Si les deux polynômes sont décomposables en facteurs, celte circonstance abrège les opérations. Soit, par exemple,

on pourra écrire

2A,c,-j-2a?c,-{-2 q’A* — q>— 6’— c* ab * — 2 abc-\-ac‘ ’

Les quantités entre parenthèses se construisant avec la plus grande facilité, l’expression proposée se ramènera immédiatement à la forme

et se traitera par la règle du n* 54.

56. Construction des expressions irrationnelles. Supposons maintenant que la valeur de x soit irrationnelle.

Si elle se réduit à un radical du second degré, la quantité placée sous le radical devra être homogène et du second degré.

Soit d'abord x = \ab. Celte valeur se construira en cherchant une moyenne proportionnelle entre les lignes a et b.

Soit x = v'o’-h è*. L’inconnue x sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés sont actfc.

Soit x=-^a' — &*• L’inconnue x sera l’un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dans lequel a est l’hypoténuse et b l’autre côté de l’angle droit; ou bien x sera une moyenne proportionnelle entre a-\-b et a — b.

57. Si le radical porte sur une fraction algébrique, le degré de son numérateur devra surpasser de 2 unités celui de son dénominateur. Soit donc, pour fixer les idées,

— ka'b*-\- bà 2rts-j-3èe1'

Après avoir choisi une longueur arbitraire u, divisons chaque terme par une puissance de u inférieure d’une unité au degré de ce terme, et multiplions le numérateur par «’ pour rétablir l’homogénéité; il viendra

La quantité entre parenthèses peut être réduite à une ligne ni, et le dénominateur à une ligne m; il reste donc

et, si t) désigne une 4' proportionnelle à n, m et u,

x= \/uv,

qui est une moyenne proportionnelle entre u et v.

On peut, par cette méthode, construire tous les radicaux du second degré. Mais u restant arbitraire, le choix qu’on fera permettra souvent d’abréger les opérations. Ainsi, dans l’exemple ci-dessus, on peut prendre u = a, et il vient

valeur plus simple que la précédente.

Il peut arriver aussi que les polynômes soient décomposables en facteurs, circonstance dont il faut avoir soin de profiter. Si l’on avait, par exemple,

’-yJ-

— 2 a’é-f- 2 a'fc* — 2 bk a‘+2aé ’

on pourrait écrire

(a—by^ + b*) û((l -j- 2 b)

Soient alors - =m, a — b= A, »-(-»« = B, o-f-2é=C, il viendra

et si = D, x = v/Al), moyenne proportionnelle entre A et D.

50. Si x est donné par un radical du quatrième degré, la quantité sous le radical devra être homogène et du quatrième degré. Soit, pour fixer les idées :

Après avoir choisi une longueur arbitraire u, on divisera chaque terme de la fraction par une puissance de u inférieure d’une unité au degré de ce terme, et l’on multipliera le numérateur paru* pour rétablir l’homogénéité. Il viendra :

La quantité entre parenthèses se réduira à une ligne m et le dénominateur à une ligne n; on aura donc:

Soit p une 4" proportionnelle à n, m et u, il viendra :

x— \'u <Jup-

Soit enfin q la moyenne proportionnelle entre u et p, on pourra écrire a; = \/üq, ce qui est une moyenne proportionnelle entre u et q.

Cette méthode permettra de construire tous les radicaux du 4* degré. Mais u restant arbitraire on aura soin d’en disposer de manière à simplifier les opérations; c’est ce qu’on ferait dans l’exemple ci-dessus si l’on prenait u=a.

Si la quantité sous le radical était décomposable en deux facteurs du second degré, le radical proposé serait une moyenne proportionnelle entre deux radicaux que l’on sait construire. Soit, par exemple : x = y' lF—bk\ on pourra écrire x= y'a’ — el sj

l’on pose m= \Ja'1 b', — b valeurs que nous avons ap-

pris à construire au n° 56, il ne restera qu’à chercher la moyenne proportionnelle entre m et n.

59. Simplification des procédés généraux. Les procédés qUC nous venons d’indiquer suffisent pour construire toutes les expressions qui se rencontrent dans l'application de l’algèbre à des questions de Géométrie. L’habitude du calcul suggère souvent des moyens plus expéditifs, mais qui ne peuvent être formulés en règles générales.

Soit, par exemple,

2 a' — 4 o‘4 -j- 4 o’fc* — 4a’6,-(- 2 aè* a -J- b ’

cette expression peut être mise sous la forme :

/ £tt

Or, o’+è* peut être changé en un carré c% et y/ est le

côté d’un carré dont la surface est à celle de c ' comme la ligne 2o est à la ligne a -(- b. Appelons d ce côté; il viendra x=\J(a—b)d, ce qui est une moyenne proportionnelle entre a — b et d.

40. Construction des angles. Nous avons supposé jusqu’ici que l’inconnue était une ligne; il pourrait arriver que ce fût un angle. Cet angle sera donné en général par une de ses lignes trigonométriques; dans ce cas l’expression obtenue devra être homogène et du degré zéro; elle pourra donc, après des transformations convenables, et par des procédés analogues à ceux que nous avons employés plus haut, être mise sous la forme

J, a et b étant des lignes. Cela posé :

Soit sin ®==|:si on construit un trianglerectangle ABC(fig.2l)

Fig. ai.

qui ait pour hypoténuse b et pour l’un des deux autres côtés a, l’angle demandé sera l'angle opposé au côté a.

Soit cosx — ^: la même construction étant faite, l’angle x

sera l’angle adjacent au côté a.

Soit tang x = l'inconnue estl’angle opposé à a dans un triangle rectangle qui aurait pour côtés de l’angle droit a et b.

Les deux premières constructions supposent a <6; la troisième sera toujours possible.