Coordonnées du centre des surfaces du second degré

Pour savoir si la surface représentée par l’équation [1] ou plus simplement par

a un centre, cherchons s'il n’est pas possible de faire disparaître les termes du premier degré par un simple déplacement de l’origine. A cet effet, transportons l’origine en un point ( x lt ylt l’équation transformée sera, en supprimant les accents des nouvelles variables,

Ax' + 2B;y + 2(Ar, + Br, + B";/, + C)x\

4- A’;/* -f-2B'n-J- 2(A ’ij, + Br, -f- B"j\-}- C)y > -f- /X-r, , j/,,r,) = 0. + A "r* -f 2B".ri/+ 2(A“r1 + U;/, + B'r, + CT)z \

On voit que les valeurs de x„ yu z„ propres à faire disparaître les termes du premier degré, sont données par les équations

Ax, 4- B'r, 4~ b ";/ , 4“ C = 0’

A'ÿ, 4" Br, 4~ B’.r, 4* G' = 0 [c],

A'r.4-%, + B'.r,4-C"=oJ

lesquelles reviennent ù

Ainsi, les coordonnées du centre d’une surface du second degré s’obtiendront en résolvant le système des trois équations formées en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l’équation de la surface, prises par rapport à chacune des variables.

Les équations [c] résolues par la méthode ordinaire donnent

dans lesquelles on a pour le dénominateur commun H,