R = AB2 -}- A'B” + AB’’ — AA'A" - 2BBB

La possibilité de faire disparaître les termes du premier degré tient, comme nous l’avons vu, à l'existence d’uu centre situé au point (jr,, «/,, 2,). Donc, suivant que les valeurs [c1] seront finies et déterminées, indéterminées ou infinies, la surface admettra un centre unique, une infinité de centres, ou n’en admettra aucun. Mais, avant d’examiner ces différents cas, nous indiquerons une règle mnémonique pour retenir la fonction R qui, comme nous allons le voir, joue un rôle important dans celte théorie. Si l’on écrit les coefficients des termes du second degré comme il suit :

la fonction R est égale à la somme des produits des nombres contenus dans chaque ligne verticale moins la somme des produits des nombres contenus dans chaque ligne horizontale.

475. Surfaces a centre unique. Si l’on «a R ^ 0, les Valeurs [c’] sont finies et déterminées , et les équations [c] n’ont qu’une seule solution commune : la surface admet donc un centre et n’en admet qu’un seul. En y transportant l’origine, l’équation [1] se réduit à

A**+ AV-f KV+ 2Bt /z + 2B ’zx -f -f F, = 0 [2j,

en posant pour abréger

F»=/‘(*lt î/i, -.)•

Cette équation ne renferme qu’un seul coefficient nouveau, F,/ dont la valeur peut s’obtenir d’une manière' très-simple. Si l’on multiplie la première des équations [c] para:,, la deuxième par y,, la troisième par r,, et qu’on ajoute, on a

Aj,1 + 2Bi/,2, -f Cx, 1 +A'y1’-f-2B’*Isl+C'y,>=0,

+ AV + 2ira:1!/l+C''.:1)

ce qui, en augmentant les deux membres de Cx, + C'i/, -j-C"z,, donne •

A*. . V i , *i) — F = Cx, -f C'y, + C "z, ,

et par suite

F, =/'(x1 , y,, z,) = F -j-Cïj + C'i/i-l-C"-,,

valeur facile à calculer. On voit que le terme constant de la nouvelle équation est égal au terme constant de la première, augmenté de la demi somme des termes du premier degré dans lesquels on a remplacé x, y, s, par xlt yit z,.

Exemple. Soit l’équation

** + 3y’ + 4z‘ + 2yx + 4 sx + 6zy — 26*— 24y — 32ï — 26 = 0.

Les équations du centre sont

*i+3y, +2*, = 13 3*i + 3ÿi+ Z, =12 2*i-f* y> +4ii = 16; elles admettent une solution unique •

*i = I, y. = 2, Zi = 3.

Donc la surface proposée admet un centre dont ces valeurs représentent les coordonnées.

On a, dans ce cas

F, =-26- 13.1 — 12.2 — 16.3=— 111, et l’équation de la surface se réduit à

*’ +• 3y’ + 4ï’ + 2y l + 4z* + 6iy — 1 1 1 = 0.