Si l’on avait F, = 0, l’équation se réduirait à

Kx1 + A y + AV + 2B yz+ SB'za: -f 2B".ry = 0 [3],

et serait homogène par rapport aux trois variables. 11 est facile de voir qu’elle représente alors un cône. En effet, soient

x — az,

y—bz,

GÉOM. ANAL. 29

les équations d’une droite menée par l’origine : ces valeurs de x et de y étant substituées dans [3] donnent

zs[Aa5 + AV + A" + 2B6 + 2B'a + 2B’’a&] = 0,

équation satisfaite, quel que soit z, si l’on a

An1 + AV+ A" + 2B b + 2B'a + 2B"ai> = 0 [4].

La surface contient donc toutes les droites qui passent par l’origine et dont les cocfiicients angulaires satisfont à la relation [4] : c’est donc un cône.

Une surface conique est d’ailleurs, par sa définition môine, une surface à centre.

Remarque. Si la relation [4] ne fournissait que des valeurs imaginaires de a pour toute valeur réelle de b, l’équation [3] ne représenterait en réalité qu’un seul point, l’origine nouvelle des coordonnées. On peut dire aussi que l’équation représente, dans ce cas, un cône imaginaire.

On jugera que l’équation représente un cône réel ou imaginaire, suivant que l’intersection de la surface par un plan sera une courbe réelle ou imaginaire. Il y aura avantage à choisir pour cet objet un plan parallèle à l’un des plans coordonnés.

Exemple. Soit l'équation

*' + 3y' + 4x’ + 2|/i + 4ïx + 6ry— 26*— 24y— 32x + 85 = 0.

La surface qu'elle représente a un centre, dont les coordonnées sont z = 1 , 11 = 1, 3=3. En y transportant l’origine, on trouve

*’ + 3y’ + 4x’ + 2yï + kzx + 6zy = 0.

En faisant x = l on obtient

x’ + 3ÿ’ + Cxy + 2y + 4x + 4=0,

éq ation qui représente une hyperbole : la surface proposée est donc un cène.

477. Surfaces dénuées de rentre. Si II = 0 Ct que l'utl ail moins des numérateurs N, P, Q, soit différent de zéro, l’une au moins des valeurs [c’] sera infinie , ct les équations [c] n’auront aucune solution commune: la surface sera dénuée de centre.

Exemple. Soit l’équation

l’ + îy1— 8xy -f Gx — 21/ + 4i — 25 = 0,

ou trouve x, = oo , ce qui indique qu’il n'y a pas de centre. Et en effet, l'équation f, =0 (474) se réduit dans cecasà4 = 0, ce qui est absurde, et indique bien qu'on ne peut pas faire disparaître le terme en x.

478. Surfaces qui admettent une infinité de centres. Si l’oit a en même temps

les valeurs [c'] sont indéterminées et la surface admet une infinité de centres, parce que les équations [c] se réduisent alors à deux ou même à une seule, et qu'il est possible d’y satisfaire d’une infinité de manières. Il faut distinguer deux cas.

Mais auparavant, remarquons qu’une surface du second degré ne peut être coupée par un plan que suivant une courbe du second degré ou l’une de ses variétés ; car les formules d’Euler (433), qui servent à obtenir l’équation de la section dans son plan, sont du premier degré par rapport aux variables. Gela posé,

1° Si les équations [c] se réduisent à deux, eh sorte que la troisième, par exemple, soit une conséquence des deux autres, les • centres se trouvent tous sur la droite D représentée par l’ensemble des deux premières. Coupons la surface par deux plans P et Q, l’un qui coupe la ligne des centres, l’autre qui la contienne. La première section est une courbe du second degré C, ayant pour centre le point de rencontre du plan P et de la droite D. C’est donc une hyperbole ou une ellipse ou une variété d’une de ces courbes. La seconde section, aussi du second degré, a une infinité de centres situés sur I), et ne peut, par conséquent, être que l'ensemble de deux parallèles à celte droite. En faisant tourner le plan 0 autour de la ligne des centres, on obtiendra une infinité de droites, toutes parallèles et rencontrant la section transversale C. Donc la surface représentée est un cylindre a base elliptique ou hyperbolique, comprenant comme variétés une droite unique ou deux plans qui se coupent.

2° Si les équations [c] se réduisent à une seule, à la première, par exemple, la surface admet une infinité de centres situés sur le plan P que cette équation représente.

Soit M un point quelconque de la surface. Si par ce point on mène un plan Q quelconque, mais non parallèle au plan P, il coupera ce plan suivant une droite D, et son intcrseclion avec la surface devant avoir une infinité de centres sur la droite D, ne pourra être que l’ensemble de deux droites d et d' parallèles à D, situées de part et d’autre du plan P à égale distance de ce plan, et dont l'une d passera par le point M. Si l’on fait varier le plan Q, la droited, passant par M et restant parallèle à P, décrira un plan parallèle à P, et la droite d' en décrira un second situé de l’autre , côté de P à une distance égale. La surface se compose donc, dans ce cas, de deux plans parallèles qui peuvent, comme cas particulier, se réduire à un seul.

Exemples. 1" Soit l'équation

4x’ + 9y’ + 97x’— 16«— 54Xÿ — 36 = 0. [1]

Les équations du centre sont, en supprimant les indices,

kx— 8: =0 j 9y — 27s=0 v 97i — 8j^ — 27y=OJ

On tire des deux premières

* = 2ï, y = 3x valeurs qui, portées dans la troisième, donnent

97x-16x-81x = 0 ou 0 = 0.

D'ailleurs, si l’on coupe la surface par le plan des xy, on obtient la courbe qui a pour équations

Donc la surface est un cylindre à base elliptique. Ses génératrices sont parallèles i la droite représentée par les équations [2] et on peut le considérer comme ayant pour directrice l'ellipse représenté:; par les équations [3].

2’ Soit l'équation

& + y’ + 5x’— 2rx — hiji — 2x + 2ï + 1 =0.

RÉDUCTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 453 Les équations du centre sont

dont la troisième est une conséquence des deux premières. La surface a donc une infinité de centres en ligne droite. Mais si l’on coupe la surface par le plan des xij, on obtient pour l'équation de la section

(s-ij’ + y’^o,

qui ne représente qu’un point. La surface se réduit donc à une droite.

3" Soit l’équation

8*’ + 18y' + 2i’ + 12yi + Six + 24ury — f.Oi — 7 5y — 25; + 1.5 = 0 [ I ] les équations du centre sont, en supprimant les indices 8J+12y + 4i = 25 12ac+18y +6x = y?

On reconnaît que la deuxième s’obtient en multipliant la première par J; la troisième en multipliant la première par i. Donc la surface se compose de deux plans parallèles.

En effet, si l'on résout l’équation [T par rapport à x, on trouve, tout calcul fait

L’équation [1] est donc le produit des suivantes

qui représentent bien deux plans parallèles.

4° En appliquant les mêmes méthodes à l'équation

*’ + ÿ’ + x’ + 2y* + 2Jï + 2xy — lftr— lOy — 10x + 25 = 0,

on reconnaît qu'elle représente deux plans qui se confondent et qui ont pour équation commune

Le premier membre de l'équation n’est eu effet que le carré de (i + y + i— 5).

k'ok

§ 2. TLASS DIAMÉTRAUX.