Surface diamétrale. Plan diamétral. Le ÜCU (les milieux

de toutes les cordes d’une surface, parallèles à une même direction, se nomme une surface diamétrale. Si la surface est du m*** ordre, les cordes considérées pouvant la rencontrer en m points, la

surface diamétrale pourra être du degré , puisque les

m points d’intersection, combinés deux à deux, déterminent — — cordes et par conséquent ■■ milieux. Une sur-

face diamétrale sera donc, en général, d’un degré plus élevé que celui de la surface proposée. Mais lorsque t/i=.2, le degré de la surface diamétrale est I, c’est-à-dire que c’est un plan. On lui donne alors le nom de plan diamétral.

Toute droite parallèle aux cordes qu’un plan diamétral divise en deux parties égales est dite conjuguée à ce plan diamétral.

480 Lorsqu’on prend un plan diamétral pour plan des xy, et pour axe des z une droite conjuguée à ce plan, la substitution de — ; à -J- s ne doit pas changer l’équation de la surface, ce qui exige qu’elle n’ait que des termes de même parité en z, c’est-àdire ou tous de degré pair, ou tous de degré impair. Mais, dans ce dernier cas, il ne doit pas exister de terme indépendant de z. Le premier membre de l’équation est donc divisible par z ; et, par suite, celle équation étant satisfaite par z — 0, quels que soient x et y, représente l’ensemble du plan des xy et d’une certaine surface de degré pair en ; ; de sorte qu’en divisant l’équation par z il ne restera que des termes de degré pair. On conclut de là que lorsqu'une surface admet un plan diamétral, si l'on prend ce plan pour l'un des plans coordonnes, l'équation ne renfermera que des puissances paires de la variable relative à l’axe non situé dans ce plan.

Réciproquement, lorsque cette corulition est remplie, par rapport à la variable ; par exemple, le plan des xy est un plan diamétral, puisqu’à chaque système de valeurs de x et de y, correspondent deux valeurs de - égales et de signes contraires.

Remarque. Si l’équation contenait un terme en a, mais ne renfermait par d’autre terme de degré impair par rapport à cette variable, le plan des xy ne serait plus un plan diamétral, mais il serait parallèle à un plan diamétral, puisqu’on pourrait, en général, faire disparaître le terme en z par un simple déplacement de l’origine sur l’axe des z.

Exemples. I. Les équations

4xJ— 3^ = 48

je* — 3Jx5 + 4Jÿ + 2y=64,

représentent des surfaces qui ont pour plan diamétral le plan des xy : la direction conjuguée est celle de l’axe des i.