II. Les surfaces 3i’ + 2y’ + 4*y+ 5ï

ont un plan diamétral parallèle au plan des xy. Seulement, dans la seconde, le coefficient de x1 étant nul, ce plan est A l’infini.

4flt. Plans diamétraux conjugncs. Deux plans diamétraux sont dits conjugués lorsque les cordes conjuguées à l’un d’eux sont parallèles à l’autre.

Lorsqu’on prend deux plans conjugués pour plans des xy et des xz, et pour axes des y et des z des droites respectivement conjuguées à ces plans, l'équation ne doit contenir que des puissances paires de z -et de y. Et réciproquement si ces conditions sont remplies, le plan des xy et celui des xz seront deux plans diamétraux conjugués.

Les plans des xy et des xz seraient encore conjugués si, en faisant tourner l’axe des y dans le plan des xy, et l’axe des z dans le plan désira, on pouvait ramener l’équation à la forme précédente.

Trois plans diamétraux sont dits conjugués lorsque deux quelconques d’entre eux sont conjugués.

Lorsque les trois plans coordonnés sont conjugués, l’équation de la surface ne doit renfermer que des puissances paires de chacune des variables.

Exemples. Les plans des ztj et des xi sont des plans diamétraux conjugués par rapport aux surfaces que représentent les équations

4xi + 3sj! — 5:’+3y’ = 100

ta3— 6xy=i5.

Les plans coordonnés sont conjugués relativement A la surface qui a pour équation

4R2. pians diamétraux principaux. Un plan diamétral est dit principal, lorsqu’il est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales.

Les cordes conjuguées à un plan principal sont dites cordes principales.

405. Diamètres, axes, sommets. L’intersection de deux plans diamétraux se nomme un diamètre. Le diamètre est principal lorsqu’il est l’intersection de deux plans principaux. On lui donne aussi le nom d’axe.

On nomme sommet le point où une surface est rencontrée par un de ses axes.

Trois diamètres sont conjugués lorsque les plans qui les contiennent sont conjugués.

40 î. Dans toute surface du second degré, les surfaces diamétrales sont des plans.

Nous avons déjà été conduit à ce résultat par la considération du degré de la surface diamétrale (479), mais on peut aussi démontrer la proposition de la manière suivante :

Rappelons d’abord que toute surface du second degré est coupée par un plan, suivant une courbe du second degré (453, Rem.). Un diamètre de la section ainsi obtenue aura évidemment tous ses points sur la surface diamétrale conjuguée aux cordes qu’il divise en deux parties égales.

Maintenant, soient S une surface du second degré, et S' une de ses surfaces diamétrales ; si par deux points quelconques pris sur S', on mène un plan P parallèle aux cordes conjuguées, ces deux points appartiendront nu diamètre conjugué à ces cordes dans la courbe du deuxième degré qui résulte de l’intersection du plan P

et de la surface S. Mais ce diamètre est une ligne droite ; et celle droite doit être tout entière dans la surface diamétrale. Donc celte surface contient en entier toute ligne droite qui passe par deux de ses points. C'est donc un plan.

48iî. Équation générale des plans diamétraux des snrfares du second degré. Jusqu’à présent nous n’avons fait aucune hypothèse sur la direction des axes. Désormais nous supposerons ccs axes rectangulaires, ce qui est permis, puisqu’on peut toujours passer de l’équation de la surface rapportée à des axes obliques à l’équation de cette surface rapportée à des axes rectangulaires : on sait que dans ce passage son degré reste le môme.

Soit donc

Ax5 + A'y5 + A";1 + 2Bi/5 + 2B'x; -f 2B"’xj/ -f 2Cx + 2C'j/ + 2C"s-f F = 0 [lj,

ou plus simplement f(x, y , s) = 0,

l’équation de la surface, rapportée cette fois à des axes rectangulaires.

486. Plans diamétraux conjugués aux axes. On peut d’abord obtenir très-simplement les plans diamétraux conjugués aux axes. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de l’axe des x. En résolvant l’équation par rapport à x, on trouve

B"iy + B's -f- C A

V désignant une certaine fonction de y et de z. On voit par là que, pour avoir les points de rencontre d’une parallèle à l’axe des x avec la surface proposée, il faut ajouter et retrancher alternativement la quantité /V, à l’x du point où cette parallèle rencontre le plan donné par l’équation

ou Ax + B"t/-f B'x + C = 0 [P];

Donc le plan [P] est le plan diamétral conjugué à l’axe des x.

Remarques. I. L’équation [P] revient à fI=0. Ainsi les plans diamétraux conjugués aux axes sont donnés par les équations

fm —0, /;' = 0, f.' = 0.

II. Les équations qui nous ont servi à déterminer le centre d’une surface du second degré n’étaient donc que les équations de trois plans conjugués aux axes.

III. Le calcul que nous venons de faire est indépendant de la direction des axes, en sorte que fm = 0 sera encore l’équation du plan diamétral conjugué à l’axe x', dans le cas des coordonnées obliques.

IV. Si la quantité V sous le radical était un carré parfait, l’équation [1] serait décomposable en deux facteurs du premier degré et représenterait deux plans.