Plan diamétral conjugué A une direction quelconque

Soient

x=az et y = bz

les équations de la direction donnée, et (x„y„ s,) le milieu de l’une des cordes parallèles à celte direction; si nous transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l’équation de la surface deviendra

f(x + xt, y + y„ 5 + r,) = 0 [3],

et les équations de la droite qui détermine la corde considérée seront précisément les équations [2], cette droite passant par la nouvelle origine et faisant les mêmes angles avec les nouveaux axes qu’avec les anciens. Maintenant, si nous éliminons a; et y entre les équations [2] et [3], il viendra

[Aa5 + A'i»1 -j- A" + 2B6 + 2B'a + 2B "ab] z1 + [afM\xt,y„zt)+bft\x„xl,zl)-\-fM'(xi,yl,z,)]z-\-f(x, y, z) — Q [4],

équation dont les racines sont les z des deux extrémités de la

corde considérée ; ces racines devant être égales et de signes contraires, il faut qu’on ait , en supprimant les indices,

<*/*.+ V.+f.=0 [fl-

Cette équation étant vérifiée par les coordonnées du milieu d’une corde quelconque parallèle à la direction donnée, est l’équation du plan diamétral cherché.

Remarque. L’équation [</] est satisfaite quand on a /V = 0, fj= 0, — c’est-à-dire lorsqu’on y substitue les coordonnées

du centre. Ainsi, quand la surface a un centre, ce point se trouve sur un plan diamétral quelconque; tous les plans diamétraux passent donc par le centre, ce qui d’ailleurs est évident.