Soient

i = cosi, wi = cos (*, n=cosv

les cosinus des angles que la direction donnée fait avec les axes positifs ; les équations d’une droite menée par l’origine parallèlement à cette direction sont^= — = et on aa=-, b=— ;

par suite l'équation [</] prend la forme très-symétrique If *-) -mf ,-( -nf , = 0.

La substitution des valeurs de fj, f,' et f,' dans cette équation la réduit à

(Ai + B"m + B'n)z + (B "i + A ’m + Bn)y -f (B'i -f Bm + A "n)z + Ci-f C'm-f Cwn=0 [D].

Pour la retenir sous cette nouvelle forme, on remarquera que le coefficient de x est la moitié de la dérivée, par rapport à x, des termes du second degré de f(x, y, z), après qu’on y a remplacé x par I, y par m, s par n : une règle analogue donnera les coefficients de y et de s. Quant au tenue tout connu, il est égal à la moitié de l'ensemble des termes du premier degré, dans lesquels on a fait les mêmes substitutions.

Remarques I. Le plan diamétral correspondant à la direction donnée sera situé à l'infini, si l’on a à la fois

A/+B*m + B’n=0, ffï+A'm-f Bn=0, B7+Bm-f- A"»=0.

Mais les seconds membres de ces équations étants nuis, et les cosinus l, m et n ne pouvant être tous les trois nuis à la fois, d’après la théorie des équations de celte forme, celte circonstance ne peut se présenter que dans le cas où le dénominateur commun aux valeurs de ni, n cl l tirées de ces équations, est égal à zéro ; et comme ce dénominateur n’est autre que le dénominateur R des coordonnées du centre (474), la circonstance en question s’olfre seulement dans les surfaces dénuées de centre ou qui en ont une infinité.

II. 11 n’y a pas de plan diamétral correspondant à la direction donnée quand les coefficients angulaires a et 6 vérifient la relation

Aa5 + A’6l + A" + m + 2B'a + 2B''a6 = 0,

puisque alors l’équation [4] admet une racine infinie; et il n’existe pas de cordes parallèles à la direction donnée.

489. Plans principaux. Cordes principales. Pour que le plan représenté par l’équation [D| soit un plan principal, il faut qu'il soit perpendiculaire à la droite qui a pour équations

et qui lui est conjuguée. On doit donc avoir (452)

AJ + B-wi+B'n B'7 + A’w + B» B7 + Bto + A’n , ,

l m ~ T, la]‘

Ces équations reviennent à

B”/-}- (A' — f)m-|- Bn = 0 1 [A],

B7+Bm-f-(A" —s)n— O)

en désignant par s la valeur commune de ces trois rapports ; on a de plus l’équation de condition

Mais les équations [A], en y considérant l, m, n comme des inconnues, ne sont compatibles, par les raisons indiquées dans la remarque I du numéro précédent, que si le dénominateur commun est égal à 0. On devra donc avoir

(A —s) (A ' — *) (A" — i) — (A — 5) B2 — ( A' — i)B’' — (A" — s) B"1 -f 2BBB*=0,

c’est-à-dire

+ (AA' -f- AA" + A’ A" — B* — B'* — B"*)s + R = 0, ou plus simplement

i,-j-Ps24-Qi+R=0 0],

en posant pour abréger