R = AB* 4- A'B'* 4- A" B"* — A A'A* — 2BB'B

Remarque. Nous avons déjà donné une règle mnémonique pour retenir R, qui n’est autre que le dénominateur commun des coor- . données du centre, au moyen du tableau

Les autres coefficients de l’équation [i] peuvent se retenir à l’aide du même tableau : P est égal à moins la somme des nombres de la première ligne; Q est égal à la somme des produits

deux à deux des nombres de la première ligne, moins les carrés des nombres de la seconde.

490. L'équation [s] étant du troisième degré admet au moins une racine réelle. Les équations [A] ont donc au moins une solution réelle ; et, par suite, il existe au moins un plan principal.

Le plan principal pourrait être situé à l’infini, ce qui arriverait si l'équation [s] avait une racine nulle. Mais cette circonstance ne se présente que si R = 0, c’est-à-dire dans les surfaces dénuées de centre ou qui en ont une infinité.

Remarque. Les rapports -, — donnés par les équations [a], étant substitués dans [«], on pourra tirer de cette dernière deux valeurs de n égales et de signes contraires. Mais, comme les rapports j,

— sont déterminés, il est clair que si n change de signe, l et ni

doivent en changer également. Les deux solutions obtenues ainsi correspondent donc aux deux segments d’une même direction et ne fournissent en réalité qu’un seul plan principal.

Nous démontrerons plus loin que l’équation [s] a ses trois racines réelles; il en résulte qu’il existe toujours trois systèmes de plans principaux, ou du moins de cordes principales, et qu’il n’en existe que trois, en exceptant toutefois les cas d’indétermination que nous examinerons plus tard.

$ 3. REDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES.

491. Évanouissement des termes qui renferment les produits des variables. Puisqu’il existe au moins un système de cordes principales, prenons l’axe des s parallèle à leur direction, c’est-à-dire supposons 1=0, m = 0, n = 1 . Les équations [n] reviennent alors à

It B' A/'

et par conséquent l’on doit avoir

c’est-à-dire que les termes en yz et en xz ne doivent plus entrer dans l’équation de la surface, qui se trouve ainsi réduite à

AjX1 4“ Ai 'y* ~|- N;’ -{- 2Y\'\xy -j- 2Gx — j- 21 ïy -j- 2lz -f-F = 0.

Mais, par un changement d’axes dans le plan des xy, on peut toujours faire disparaître xy. L’équation se réduira donc en définitive à

Lx* -f M y* + N -f 2Gx + 2Hy + 2lz + F = 0 [2],

qui représente encore, en coordonnées rectangulaires, toutes les surfaces du second ordre.

492. Équation des surfaces A centre unique. Si après Cette transformation aucun des coefticients des carrés n’est égal à 0, on pourra faire disparaître les termes du premier degré en transportant l’origine au point dont les coordonnées sont

La surface aura donc pour centre unique le point (xi , y,, z,) et son équation se réduira à

Lx1 4" My* 4~ Ns* = T [I].

Si l’on avait L = 0 et G = 0, le terme en x n’existerait plus, et l’on ferait disparaître en outre les termes Ht/ et 1-, en transportant l’origine au point (0, y,, z,). L’équation prendrait alors la forme

My*4-Nx*=T,

qui est comprise dans la forme [I] en supposant L = 0. On voit qu’elle représente un cylindre à base elliptique ou hyperbolique.

Si l’on avait L = 0, G = 0, M = 0, H = 0, le terme en z disparaîtrait par un simple déplacement de l’origine sur l’axe des z et l’équation se réduirait à

Mais cette dernière équation, qui représente deux plans parallèles

situés à égale distance du plan des xy, est encore comprise dans l’équation [I] en faisant L = 0, M = 0.

Ainsi, l'équation [1] comprend toutes les surfaces qui ont un centre unique, ou une infinité de centres situés soit en ligne droite, soit sur un même plan.