Équation des surfaces dénuées de rentre. — Si L est

égal à 0 sans que G soit nul, il ne sera plus possible de faire disparaître le terme en x, et la surface sera dénuée de centre; mais on pourra faire disparaître le terme tout connu ainsi que les termes en y et en z, en transportant l’origine au point dont les coordonnés sont

L’équation prend alors la forme

Mÿ* + Nz*=2U* [11].

Si l’on avait en môme temps L = 0, M = 0, mais G et H différents de 0, le terme en z ayant disparu par un déplacement de l’origine sur l’axe des z, l’équation prendrait la forme

Nz' + 2G*+2Hy+F = 0.

Celte surface rencontre le plan des xy suivant la droite qui a pour équation

2Gx+2Hj/ + F=0,

et il est clair que si l'on transporte l’origine en un point de cette droite, et que l’on prenne cette droite elle-même pour axe des y, on devra avoir alors x=0, pour z= 0, quel que soit y, ce qui exige évidemment que l’équation se réduise à

Nz'=2U*.

Mais celte équation, qui représente un cylindre à base parabolique, est comprise dans la forme [II] en supposant M = 0.

494. Résumé. Ainsi, toute équation du second degré à trois variables peut être ramenée à l’une de ces deux formes

Lc*+My*+N3*=T

My* + Nz‘=2Ux

[ni.

La première convient à toutes les surfaces qui ont un centra ou une infinité de centres ; la deuxième comprend les surfaces qui en sont dénuées.

La première montre que les plans actuels des coordonnées sont > des plans principaux ; l’équation [s] a donc alors ses trois racines réelles. Dans la seconde le plan des zx et celui des xy sont principaux, ce qui montre que l'équation [s] a dans ce cas deux racines réelles : donc la troisième est aussi réelle ; mais comme sa valeur est égale à 0, le plan principal correspondant est situé à l’infini (400).

On doit conclure de là que les racines de l’équation [s] sont réelles dans tous les cas; que, par suite, il existe toujours trois plans principaux perpendiculaires entre eux et trois systèmes de cordes principales aussi perpendiculaires entre elles.

Remarque. On peut établir la réalité des trois racines de l’équation [a] par une discussion directe; mais comme celte discussion ne laisse pas que d’ôtre assez longue et assez délicate et qu’elle n’est pas nécessaire pour démontrer la possibilité de réduire l’équation du second degré à trois variables, nous avons cru devoir l’omettre.

49Ü. Réduction effective de l'équation du second degré & la forme la plus simple. Ce qui précède démontre bien la possibilité de réduire l’équation proposée à la forme

Lx* + My* + N** + 2Gx -f 2Hy + 21* + F = 0 [2] ,

et, par suite, à l’une des deux formes [I] ou [II] ; mais il nous reste à indiquer comment on parviendra à opérer cette réduction.

GÉOM. ANAL. 30

466 GliOHÉTKIE ANALYTIQUE A TH018 DIMENSIONS.

l)’abord la résolution des équations [A] fournit, pour chaque valeur de s, un système de valeurs de /, m, n. On a donc trois systèmes l, m, n ; l', m', n' ; l", m", n", qui représentent les coefficients de direction des trois axes rectangulaires auxquels il faut rapporter la surface pour faire disparaître les produits des variables; les formules de transformation sont alors (451)

x = lx' -j -l'y’ + iV z = nx' + nV-f-n'-'.

On trouve facilement, en ne prenant dans cette substitution que les ternies en x n,

L = Ai* + A'm» + AV + 2Bmn -f 2B'nI + 2B7m.

Or, d’un autre côté, si l’on multiplie les équations [A] respectivement par 1, m, n, et qu’on ajoute, on trouve, en ayant égard à[«]

A/1 -j- A 'm* -f- AV -f- 2Bmn -f- 2B'nl -|- 2B7m = s ;

donc L est une racine de l’équation [s] et par suite M et N seront les deux autres racines.

Quant aux valeurs de G, II, I, on aura

G = Cf -j- C'm -j- Cil

H = Cf' + C’m' + CV

I = Ci" -f C'm" -}-C"rt*.

F n’a pas varié dans toutes ces transformations puisqu’on n’a pas déplacé l’origine.

La réduction ultérieure à l’une des deux formes [I] ou [II] ne présentera ensuite aucune difficulté. S’il s’agit d’uncsurface douée de centre, on n’aura plus qu’à calculerT.ce que nous savons déjà faire (-173). S'il s’agit d’une surface dépourvue de centre , le coefficient désigné par U sera la quantité que nous venons d’appeler G, changée de signe , et elle se calculera en tirant des

équations [A] et [«J les valeurs de l, m, n, qui correspondent à * = 0.

Pour éclaircir ce qui précède, il conviendrait de donner ici quelques exemples de réduction d’équations numériques ; mais comme nous ne connaissons pas encore les différents genres de surfaces représentées par l’équation [I] , et que d’ailleurs la réduction et la discussion des équations numériques à trois variables est une question très-importante, nous y consacrons un chapitre spécial que l’on trouvera plus loin (voir chap. VII).

Remarques. I. On peut prendre pour le coefficient de x *, l'une quelconque des racines de l’équation [5]; mais, malgré une diversité apparente, on aura toujours au fond le même système d’axes. En effet, si l’on change L en M et M en L, il faudra aussi changer l, m, n en l’ , m', n', et réciproquement; par conséquent mettre H à la place de G, et G à la place de H. Lanouvelle équation ne différera donc de la précédente, que parce que les lettres xety auront été permutées, ce qui revient à changer les dénominations de deux axes.

II. Si l’on avait A" = 0, R =0, B' = 0, l’équation [2] représenterait un cylindre parallèle à l’axe des s; l’une des valeurs de* serait nulle et les coefficients de x* et de y’ dans l’équation transformée seraient les racines de l’équation du second degré

ss — (A + A > + A A — B" = 0.

Il est facile de s’assurer, en effet, que dans la réduction de l’équation du second degré à doux variables, le calcul des coefficients de x* et de y* revient à la résolution de cette équation (voir lr* partie, n° 17îi).

III. Si l’on calcule la fonction analogue à R, de l’équation transformée, on trouve — MNL; celte valeur est précisément égale à R, d’après une propriété bien connue des équations. Ainsi la fonction caractéristique II a conservé sa valeurdansla transformation. Une circonstance semblable s’était produite dans la réduction de l’équation du second degré à deux variables.

A96. La réduction de l’équation générale à la forme [2] peut

sc faire au moins d’une manière; mais on peut se demander s’il n’existe pas plusieurs systèmes d'axes propres à atteindre le même but.

Pour répondre à celte question, je prends l’équation sous la forme [2], et je cherche s’il n’est pas possible de changer les axes rectangulaires en d'autres également rectangulaires, de telle sorte que les produits des variables qui ont déjà disparu ne reparais* sent pas. A cet effet, il faut faire dans les formules [A]

et donner à s l’une des trois valeurs L, M ou N.

Si l’on fait d’abord s = L, on obtient

11= IL j

Mw=«iL| [A’].

Nn=fiL]

La première équation est satisfaite d’elle-même; les deux autres ne peuvent l’être, si M et N sont différents de L, que par

7/1 = cos|x — 0 n = cosv = 0, et par suite / = cosX = l ,

valeurs qui correspondent aux mêmes axes ou à ces axes changés de sens.

On arrive à la même conclusion en supposant s = M ou « = N.

Ainsi l’on voit que tant que les racines de l’équation [s] sont inégales, il n’existe qu’un seul système d’axes propres à faire disparaître les produits des variables, pourvu que l’on considère comme équivalents les systèmes qui ne diffèrent que par la dénomination des axes ou par le sens suivant lequel sont comptées les coordonnées positives. La réduction à la forme [2] ne pouvant se faire que d’une seule manière, la réduction ultérieure à l’une des deux formes [I] ou [II] ne pourra également sc faire que d’une seule manière, en sorte qu’il n’existe que trois plans principaux.

Mais si deux racines de l’équation [s] étaient égales, si, par exemple, on avait L=M, la seconde des équations [A’] serait vé-

rifiée, pour toute valeur de m, et par conséquent l'axe des x restant le même, deux droites quelconques perpendiculaires entre elles et perpendiculaires à cet axe pourraient être prises pour axes des y et des s, sans que la forme de l’équation [1] changeât. Mais dans ce cas, toute section représentée par les équations

z = «, Lr*+Ly‘+Na,+ 2Ga: + 2lI;/ + 2la + F = 0)

est une circonférence de cercle ayant son centre sur la parallèle à

l’axe des z, qui a pour équations

On a donc une surface de révolution ayant pour axe cette dernière droite. Il est évident, en effet, que dans une surface de révolution tout plan mené suivant l'axe est un plan principal.

Si les trois racines de l’équation [s] étaient égales, les équations [A'] seraient toutes les trois identiques. Un plan quelconque est alors parallèle à un plan principal, ce que l’on explique aisément en remarquant que dans ce cas la surface représentée est une sphère.

Donc, parmi les surfaces du second degré, il n’y a que les surfaces de révolution qui aient une infinité de plans principaux.