CHAPITRE VI

497. considérations générales. Toutes les surfaces à centre sont comprises, comme nous l’avons vu, dans l’équation

Ls’-f My*4-Nz* = T [I].

Si l’on suppose que le terme tout connu, passé dans le second membre, soit positif, condition que l’on peut toujours remplir, on n’aura plus à examiner que les cas suivants:

1° Les coefficients du premier membre sont tous positifs;

2* ün seul des coefficients du premier membre est négatif;

3° Deux de ces coefficients sont négatifs.

Le cas où les trois coefficients seraient négatifs doit être écarté, puisqu’il est clair que l’équation [1] ne pourrait être satisfaite alors par aucune valeur réelle des variables, et ne représenterait aucune surface.

Toute surface à centre est comprise dans une de ces trois divisions : seulement, si quelque coefficient est nul, on peut regarder la surface représentée comme appartenant à deux de ces classes entre lesquelles elle servira de transition. Ainsi, quand on a N=0, la surface peut être considérée comme une limite commune des surfaces où N est positif et de celles où N est négatif. Enfin, nou3 remarquerons une fois pour toutes que les surfaces représentées par l’équation [1] sont symétriques par rapport aux plans actuels des coordonnées. De la partie comprise dans l’angle trièdre des axes positifs, il sera toujours facile de déduire les parties comprises dans les sept autres angles trièdres.

498. Premier cas. Les trois coefficients du premier membre sont positifs. Genre ellipsoïde.

Coordonnées à l'origine. Axes. Équation aux axes. Si, dans l’équa-

lion de la surface, on fait y— O et z= O, on obtient s c=± ,

quantité réelle que nous représentons par ±a. La surface coupe donc l’axe des x en deux points A et A' (tig. 180), situés à une distance a de l’origine. Ou verra de môme que si l'on pose

*=Va’ c=Vk'

la surface est rencontrée par l’axe des y en deux points B et B’ à

une distance b de l’origine, et par l’axe des z en deux points C et C', à une distance c de ce point. Les six points que nous venons de déterminer sont les sommets de l’ellipsoïde.

Les droites AA'=2 a, BB'=2é, CC'= 2c sont appelées les ares de l’ellipsoïde. Pour introduire leurs longueurs dans l’équation de la surface, il surfit de rern-

placer L, M, N respectivement par ^ , — ; et alors, en divisant par T, l’équation devient

nt ' frf * »

c’est ce qu’on appelle l’équation aux axes.

400. Sections principales. En égalant tour à tour à zéro chacune des variables dans [E], on aura les traces de la surface sur chacun des plans coordonnés, ou ce que l’on nomme les sections principales de l’ellipsoïde. Elles ont donc pour équations

Ces trois sections sont des ellipses : la première ABA'B', à pour axes 2 n et 26; la deuxième ACA'C', 2a et 2c; la troisième BCB'C', 2 6 et 2c. On les nomme ellipses principales.

300. Sections par des plans parallèles aux plans coordonnés; limites de la surface. Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan des zy, à une distance OP = «, la section ainsi obtenue aura pour équations

Elle représente une ellipse dont les axes sont proportionnels à 6 et à c. Cette section se réduit à un point si o’=a*; elle devient imaginaire pour a *> a*.

On conclut de là que l’ellipsoïde est tout entier compris entre deux plans parallèles au plan des zy, menés par les points A et A'* La même chose pouvant se dire relativement aux autres axes, on voit que l’ellipsoïde est inscrit dans un parallélépipède rectangle dont les arêtes sont 2a, 26, 2c.

301. Section par un plan quelconque. Si l’on coupe l’ellipsoïde par un plan dont l’équation soit

. z = mx-\- ny + p,

la projection de la section sur le plan des xy sera représentée par

& i y* i (mx + ny+py .

La fonction caractéristique B* — 4 AC est ici

mW fin' . l\/n’ . l\

0U , 6’c* mV a*6’ ’

quantité toujours négative : cette projection est donc une ellipse. Donc, la courbe projetée, qui est du second degré, et située sur un cylindre à base elliptique, est aussi une ellipse.

Remarques. I. Si a = 6 = c, l’équation se réduit à

et représente une sphère. La sphère est donc un ellipsoïde dont les axes sont égaux.

II. Si b = a, toutes les sections parallèles au plan des xy sont des cercles, et la surface peut être conçue comme engendrée par l’ellipse principale AC.V'C' qui tournerait autour de l’axe des On a alors un ellipsoïde de révolution.

III. Lorsque T = 0, l’équation rte peut être satisfaite que par x = 0, y=0 et 3 = 0. Elle représente un point, l’origine des coordonnées. Le point est donc une variété de l’ellipsoïde.

IV. Quand on suppose c = œ , l’équation de l’ellipsoïde se réduit à

et représente un cylindre à base elliptique. Celte variété du genre peut donc être obtenue en augmentant indéfiniment l’un des axes de l’ellipsoïde, dont les deux autres axes restent constants, ou varient suivant une loi qui leur assigne des limites finies.

302. Deuxième cas. Un seul coefficient négatif. GENRE HT* perboloÏde a une nappe. L’équation, en mettant les signes en évidence , est

Lri+My*— N***=T.

Coordonnées à l'origine. Axes.

Pour y = 0, z = 0,

Les deux premières valeurs sont réelles, et montrent que la surface est rencontrée par l’axe des x en deux points également éloignés de l'origine; il en est de môme pour l’axe des y, mais elle n’est pas rencontrée par l’axe des s. 11 n’existe donc que quatre sommets A, A', B, B' (üg. 181).

Si l’on pose, comme dans le premier cas,

-vft «v'I

2a, 26, 2c sont appelés les axes de l’hyperboloïde; mais les deux

premiers sont des axes transvei'ses ou réels; le troisième est un axe imaginaire. Ces longueurs, introduites dans l’équation de la surface , lui donnent la forme

Fig. isi.

Elle ne diffère de l’équation de l’ellipsoïde que par le changement de c1 en — c*.

805. Sections principales. Les sections principales ont pour équations

Les deux premières QAA’Q', RBB'R', situées dans le plan des y : et dans le plan des xz, sont des hyperboles, dont l'axe imaginaire coïncide en direction avec l’axe des z. La section par le plan des xy est une ellipse ABA'B', dont les axes coïncident avec les axes réels de la surface. On la nomme ellipse de gorge.

804. Sections parallèles aux sections principales. Si l’on donne à z une valeur déterminée y, on obtient l’équation

î*+^ = l + ïl

qui représente la section de la surface par un plan parallèle au plan des xy. C’est une ellipse QRQ'R’ toujours réelle, et d’autant plus grande que y* est plus grand. L’hyperboloïde se compose donc de deux portions indéfinies, situées de part et d’autre du plan des xy, et qui, se raccordant suivant l’ellipse de gorge, ne forment eu réalité qu’une seule nappe illimitée dans les deux sens : de là son nom d ’hyperboloidt à une nappe.

Un plan mené parallèlement à celui des yz, à la distance a de ce plan, donne une section représentée par l’équation

hyperbole dont l’axe transverse est parallèle à l’axe des y, si l’on a <*’ < a’, et parallèle à l’axe des s dans le cas contraire. Quand on a l’hvpcrbole se réduit à deux droites. Les sections

parallèles au plan des xz donneraient lieu à des observations analogues.

Section par un plan quelconque. Un calcul semblable à celui que nous avons fait dans le premier cas, montrerait que l’hyperboloïde à une nappe peut donner, par son intersection avec un plan, les trois courbes du second degré.

805. Remarques. I. Si a=b, l’ellipse de gorge se réduit à un cercle, ainsi que toutes les sections parallèles au plan des xy. La surface peut alors être engendrée par la révolution de l’hyperbole principale QAS autour de l’axe des