II. Si T = 0, l’équation

Lr*-f- My* — Nz’= 0 . [1],

homogène par rapport aux trois variables, représente un cône.

Si l’on compare ce cône à l’hyperboloïde représenté par l 'équation

Lx*-f My> -Nz' = T [2],

on arrive à un résultat très-remarquable et que nous allons faire connaître.

Cône asymptote. Soient P(x, y, Z) et p(x, y, z) les points où une parallèle à l’axe des z rencontre le cône [1] et l’hyperboloide [2] ; nous aurons

NZ* = Lz*-f- My*,

d’où

et, par suite,

N;’ = Lx1-}- My’ — T, N (Z* — z’) = T,

Or, si nous supposons Z et z de môme signe , ce qui revient à prendre les deux points P et p d’un même côté du plan des xy , Z + 3 croîtra indéfiniment à mesure que l’on s’éloignera de l'origine, c’est-à-dire à mesure qu’on fera croître xet y, et par conséquent la distance entre les deux surfaces tendra vers zéro; mais cette distance ne sera jamais nulle.

A cause de cette propriété, le cône [1] a reçu le nom de cône asymptote de l’hyperboloïde [2]. Son équation peut se mettre sous la forme

Ce sera un cône de révolution si a = b.