III. Lorsque c = œ , l’équation [H,] se réduit à

et représente un cylindre à base elliptique. On aurait un cylindre à base hyperbolique en supposant b = <x> , c restant fini.

IV. Si l’on a en même temps b = a> , c = œ , la surface se réduit à deux plans parallèles.

i>06. Troisième ras. Deux coefficients négatifs. GENRE HYPER-

boloïde a deux nappes. En mettant en évidence les signes des coefficients, l’équation est dans ce cas

Ns' = T.

Axes; sommets.

L’axe des x est donc le seul qui rencontre la surface. Si l’on pose

Fig. i82 seul est réel. La surface n’a

donc que deux sommets, savoir : les points A et A' (tig. 182), où elle est rencontrée par l’axe des x.

En introduisant les longueurs des axes dans l’équation de la surface, on la réduit à la forme

Cette équation ne diffère de celle de l’hyperboloïde à une nappe que par le changement de 6! en — F.

•*07. Sections principales. Les sections principales sont données par les équations

it=0.

x1 tf

La première est une ellipse imaginaire. Les deux autres sont des hyperboles dont l’axe transverse coïncide avec l’axe des x.

0O8. Sections parallèles aux sections principales. Limites de la surface. Une section parallèle au plan des zy a pour équations

C’est, en général, une ellipse; mais cette ellipse est imaginaire tant -que l’on a a ’<a\ Elle se réduit à un point lorsque a’= a'.

Donc, il n’y a aucun point de la surface comprise entre deux plans perpendiculaires à l’axe des x, menés par les points A et A'. Mai6 si l’on a <*’> a’, lu section est une ellipse réelle qui croit avec ot. Donc la surface est composée de deux nappes infinies, séparées l’une de l’autre, et qui s’élargissent de plus en plus à mesure qu’on s’éloigne du plan des zy. De là et de la nature de deux de ses sections principales, le nom A'hyperbolmde à detix nappes.

On verra de môme que les sections parallèles aux deux autres plans coordonnés sont des hyperboles.

Quant aux sections par des plans quelconques, elles peuvent être l’une des trois courbes du second degré.

Remarques. I. Si b =c, toute section parallèle au plan des zy est un cercle , et l’hyperboloïde est alors une surface de révolution ayant pour axe l’axe des x.