II. Si dans l’équation
on suppose U = 0, l’équation se réduit à Mi/5 -f- Nz’ = 0, et ne peut être satisfaite que par y — o et s=0. Elle ne représente donc qu’une droite, l’axe des x.
III. Si p=q , l’équation représente un paraboloïde de révolution.
RIS. Deuxième eus. Deux eoeffleients de «Ignea contraire»
Paraboloïde hyperbolique.
L’équation devient, en mettant les signes en évidence,
Mj/* — Na*=2Ux.
Axe, sommet. La surface n’a, comme la précédente, qu’un seul
axe, l’axe des x; qu’un seul sommet, l’origine.
Sections principales. Ces sections sont données par les équations
y = 0, — NV=2Ux, s=0, My,—2Ux.
Fig. IM.
Ce sont donc des paraboles ayant leur sommet en O (fig. 184),
et pour axe l’axe des x; mais l’une s’étend vers les x positifs, et l’autre vers les x négatifs.
En désignant par 2 p et î.q leurs paramètres, on donnera à l’équation de la surface la forme
2p~ïq~x-
Sections parallèles aux plans coordonnés. Une section parallèle au plan des zy a pour éqtiations
On voit que c’est une hyperbole dont l’axe transverse est parallèle à l’axe des y ou à l’axe des z, suivant que « est positif ou négatif. La surface s’étend donc indéfiniment dans le sens des x positifs et dans celui des x négatifs. Si « = 0, l’hyperbole se réduit à deux droites.
Les sections parallèles aux autres plans coordonnés sont des paraboles égales aux paraboles principales, et semblablement placées.
Section par un plan quiconque. En changeant q en — q dans le résultat trouvé pour le cas du paraboloïde elliptique, on voit que les sections planes de la surface sont toujours des hyperboles ou des paraboles, et ce dernier cas n’a lieu que si le plan sécant est parallèle à l’axe. De là le nom de paraboloïde hyperbolique.
Remarques. I. Si q= œ , l’équation se réduit à ~~=x, et repré-
zp
sente un cylindre à base parabolique.
II. Si dans l’équation générale on aU=0, l’équation se réduit à My’ — Naî = 0, et représente deux plans qui se coupent.
III. Le paraboloïde hyperbolique ne peut jamais être une surface de révolution, puisque aucun plan ne peut le couper suivant une courbe fermée.
SIS. Résumé. Ainsi, les surfaces du second ordre, dépourvues de centre, se partagent en deux genres.
1° Une surface indéfinie dans un sens : le paraboloïde elliptique, dont l'équation la plus simple est
