CM
Les deux courbes peuvent donc encore être considérées comme engendrées parles droites CM et C'M', mobiles d’après la loi définie plus haut. Donc C et C' sont deux points homologues.
Un point quelconque de l’espace, considéré comme lié à la première figure, a donc son homologue dans l’autre.
817. Deux droites qui joignent, l’une deux points de la première figure, l’autre les deux points homologues de la seconde, sont appelés droites homologues. Telles sont OC et O’C'.
818. Conditions de slmilitnde de deux eourbes planes. Supposons d’abord les deux courbes situées dans le même plan et rapportées au même système d’axes.
Soient M ( x , y) et M’ (x\ y ’) (fig. 186) deux points homologues pris sur les deux courbes et
les équations de ces courbes. Considérons l’origine des coordon-
nées comme liée à la première courbe, et soit O' son homologue T/ rj dans la seconde figure;
soient OP=®, MP = j/, OP' = xi, MP' = y' les coordonnées des points M * et M'; OQ = «, 0'Q = p, Y celles du pointO'; 0'P,=£,, Fig t84. M'P, = y,, les coordonnées
de M par rapport à un nouveau système d’axes parallèles aux anciens et menés par le point O'.
Les triangles OMP et O'M'Pi sont évidemment semblables. Donc on aura
OP
MP
OM
c’est-à-dire Mais on a donc
d’où l’on tire
Xi = x’—a, y,=y' — p;
tf = kx + «, i/' — A-j/ + p.
Si donc on substitue ces valeurs dans l’équation [2] , elle devra être satisfaite, et l’on aura
? ( kx — |— «, ky -f- P) = 0 [3],
On obtient ainsi une relation constante entre les coordonnées {x, y) d’un point de la première courbe, relation qui ne peut être que l’équation [1] ou celle-ci multipliée par un facteur constant. On devra donc avoir identiquement
ç(to-f «, ky f(x,y).
La vérification de cette identité conduira à plusieurs équations ordinairement en plus grand nombre que les inconnues X, a, p, k. L’élimination de ces quatre inconnues fournira un certain nom-
bre de relations entre les coefficients des deux équations; ce seront les conditions cherchées.
Remarques. I. Si les deux courbes proposées étaient situées dans des plans parallèles, il faudrait, avant d’appliquer la méthode précédente, transporter le plan de la première courbe parallèlement à lui -même, jusqu’à le faire coïncider avec le plan de la seconde.
II. Si l’on demandait les conditions pour que deux courbes planes fussent semblables de forme seulement, mais non de position, il faudrait après les avoir amenées dans le môme plan, faire tourner l’une d’elles d’un angle [*, ce qui reviendrait à faire tourner, par rapport à cette courbe, le système des axes de l’angle — (a. On traiterait ensuite les équations des deux courbes comme on l’a dit ci-dessus. On aurait cinq inconnues à déterminer au lieu de quatre, et par conséquent, une condition de moins que dans le cas où l’on demande que les courbes soient semblables à la fois de forme et de position.
<519. EXEMPLE. Conditions pour qnc deux conrbcs du second degré soient semblables et semblablement placées.
Soient Ax’-f- Rt/’-j- 2Cxj/ + 2 Dx-faEt/-)- F = 0 [1]
A'ir’-j-By-j- 2C'xy-f- 2 R'a; -J- 2E't/-(- F'=0 [2]
les équations des deux courbes. Si l’on change dans la seconde x en hx -f a, et y en ky -f- p, on aura
k^k’a^ + Wy'+iC’xy) j + S*(A'.+D' + C'»* I + 2fc(B'p +C'« +E')y [ L J‘
-f AV -j- B'p‘-)-2C'ap + 2D'a-î-2E,p-fF' )
Cette équation, ne devant différer de [I] que par un facteur constant X, on devra avoir
A’ft*=XA\ B'fc’ = XB J C’/c* = Xcf ft(A’«4-C'p4- d')=xd/
k( iî |î -|- C a -f- E’) = XLl AV + B'P* + SC'«P -f 2D'«-f 2E'p + F* == XF /
Il y a donc en tout six équations et quatre inconnues. On tire des trois premières
donc on doit avoir
a'iv c;
A- il ~ C
ce qui démontre d’abord ce théorème : Pour que deux courbes du second degré soient semblables et semblablement situées, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.
o20. Je dis maintenant que ces conditions sont suffisantes. En effet, supposons-les remplies, et afin de simplifier le calcul, ima-
ginons qu’on ait multiplié par T, les deux membres de l’équa-
lion [2], ce qui la ramène à la forme
kx ' -j- + 2 Cxy -j- 2D,x + 2E,y -}- F, = 0,
les équations [5] donneront X=k', et les trois dernières équations [4] prendront la forme
Aa + C? = ftD— D, [7]
BfS + Cï = ftE — El [8]
Aa! + B£‘ + 2Cï? + 2D,a + 2 E,p + F, = k' F [9].
Les relations [7] et [8] donneront les valeurs de « et de p, et ces valeurs, portées dans [9], feront connaître le rapport de similitude k. D’où l’on voit que les conditions [6] seront en général, suffisantes.
Remarques. I. Les équations [7] et [8] donnent «= œ etp=<® , quand on a
