C’ — AB

c’est-à-dire dans le cas de la parabole. Ces équations ne sont alors compatibles que si l’on a

AD — D, AE — Ei A — C ’

d'oii l’on tire la valeur de k. Ces conditions étant remplies , les paraboles sont semblables, quel que soit F|. D’ailleurs, comme les coefficients des termes du second degré sont les mêmes, les axes des deux courbes sont parallèles. Donc , deux paraboles qui ont leurs axes parallèles sont semblables et semblablement placées.

Mais comme, en faisant tourner une parabole, on peut toujours faire en sorte que son axe soit parallèle à l’axe d’une parabole donnée, on peut dire aussi que

Deux paraboles quelconques sont semblables.

II. La valeur de A-1, tirée de l’équation [4], peut être négative, et par suite k pourrait être imaginaire. Cependant les conditions analytiques de la similitude étant encore remplies, nous continuerons à dire que les courbes sont semblables. Nous en verrons bientôt un exemple.

£>21. Condition pour que deux courbes du second degré soient semblables, sans être semblablement placées. NOUS venons de traiter le cas de la parabole (320, Rem. I) : nous n’avons à nous occuper que des courbes à centres.

Théorème. Lorsque deux courbes du second degré, à centre, sont semblables, leurs axes sont proportionnels et réciproquement.

Si l’on fait coïncider en direction les axes des deux courbes, elles seront alors semblablement placées, et leurs équations devront être de la forme

Ax’ - j- By* = H,

Ax’-f-By*=H'.

Soient a et 6 les longueurs, réelles ou imaginaires, des axes de la première courbe. On aura

et de même pour la seconde courbe

La réciproque se démontrerait aussi facilement.

Remarques. I. Le théorème peut aussi se démontrer géométriquement, d’après la définition de la similitude. Mais en prenant la voie du calcul, on arrive à une conséquence digne de remarque.

Si le rapport

était imaginaire, il n’y aurait plus, à propre-

ment pailer, de similitude dans le sens que nous avons attaché à ce mot; mais on peut dire alors que les courbes sont analytiquement semblables. On en trouve un exemple dans les deux hyperboles

x' . y* — m*o’ ' ni’ b* '

Le calcul donne m\J — 1 pour le rapport de similitude. En effet, ces deux hyperboles ont les mêmes asymptotes, mais l’une est située dans l’angle aigu cl l’autre dans l’angle obtus. De sorte que, si l’on cherche par le calcul la distance du centre aux points où une droite menée par ce point rencontre les deux courbes, on trouve une quantité réelle pour l'une de ces distances, une quantité imaginaire pour l’autre ; mais le rapport de leurs expressions analytiques est constant et égal à m y/ — 1 .

II. Les conditions de similitude sont remplies par les deux équations

dont la première représente une hyperbole et la seconde l’ensemble des asymptotes de cette même hyperbole. On est donc conduit à regarder le système de deux droites comme semblable à une ligne courbe. Pour rendre celte conclusion moins étrange, observons que, si l’on fuit varier proportionnellement les axes d’une hyperbole, on obtiendra une série d’hyperboles semblables et ayant toutes les mêmes asymptotes. Or, à mesure que les axes deviennent de plus en plus petits, les hyperboles tendent de plus en plus à se confondre avec leurs asymptotes, qui se trouvent être ainsi la limite d’une série d’hyperboles semblables.

III. Ce que nous avons dit des courbes dont les axes sont proportionnels s’applique, sans aucun changement, aux courbes ayant des diamètres conjugués proportionnels et faisant des angles égaux.

1522. Théorème. Pour que deux courbes AB, A'B' (fig. 1 87) situées

Fig. 187.

rapport de similitude, nous

dons deux plans parallèles soient semblables et semblablement placées, il faut et il suffit que leurs projections ab, a'b' sur un même plan soient semblables et semblablement placées.

Soient OM et O'M' deux rayons vecteurs homologues et k le aurons

Soient om et o'm' les projections orthogonales de OM et de OM

sur le plan considéré. Les projections de deux droites parallèles sur deux plans parallèles étant parallèles, on aura

angle (OM, om) = angle (O'M’, o'm')=a,

par suite om=OM cos a, oV=0'M' cos a;

d où — ■ = k.

Donc les deux cçurbes ab et a'b' sont semblables.

Réciproquement, si les projections de deux courbes situées dans des plans parallèles sont semblables, ces courbes le sont également. Car de la relation

on déduit