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Remarques. I. Nous avons supposé que les projections étaient orthogonales ; le théorème a encore lieu lorsque les projections sont obliques. Nous laissons aux élèves le soin de démontrer le théorème dans ce cas.

323. Théorème. Les sections faites par des plans parallèles, dans une surface du second ordre, sont des courbes semblables et semblablement placées.

Prenons le plan des xy parallèle aux sections considérées, et supposons en outre que les axes des coordonnées soient parallèles à trois diamètres conjugués. L'équation de là surface sera de la forme (401)

kx' + A'»/ + AV + 2Ca; + 2C'y + 2C"s + F = 0,

et l’une quelconque des sections sera représentée par deux équations, telles que

z = *. A^+AV-f 201 + 20'?/+ AV+2C"a+F=0.

Or, comme, dans celle dernière, les termes du second degré sont indépendants de la variable a, on voit que les sections considérées se projettent sur le plan des xy, suivant des courbes semblables et semblablement placées, et, par suite, que les sections ellesmêmes sont des courbes semblables et semblablement placées : ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. Nous donnons ici au mot semblable sa signification analytique. Ainsi, dans l’hyperboloïde à une nappe, si la surface est coupée par un plan suivant une hyperbole, toutes les sections parallèles seront des hyperboles ayant leurs asymptotes parallèles : mais ces hyperboles contenues d’abord, je suppose, dans l’angle aigu des asymptotes, se réduiront un peu plus loin à ces asymptotes mômes, et plus loin encore, passeront dans l’angle obtus.

324. Théorème. Les centres des sections faites par des plans parallèles, dans une surface du second ordre, sont tous situés sur un diamètre de la surface.

Les notations restant les mômes, le centre d’une des sections sera représenté par les équations simultanées

Ax -j- C = 0