II

Les deux premières ne contenant pas a, on en conclut que tous les centres sont situés sur la droite déterminée par leur ensemble, et par suite sur un diamètre de la surface, puisque l’équation [1] représente le plan diamétral conjugué à l’axe des x, et l’équation [2] le plan diamétral conjugué à l’axe des y.

ü2Ü. Génération des surfaces du second ordre. Soient S Une section faite dans la surface proposée, D un diamètre transverse de cette courbe, et D' son conjugué. Si l’on imagine que la section S se meuve parallèlement à elle-même, la droite D engendrera un plan, puisqu’elle passe par le centre de la section mobile et glisse

par conséquent sur un diamètre de la surface ; et par suite scs extrémités resteront toujours sur une section plane S' de la surface, c’est-à-dire sur une courbe du second degré. La droite D', toujours parallèle à elle-même, conservera un rapport constant avec D. Enfin, le centre de S se mouvra sur le diamètre de S' qui est conjugué à D. On conclut de là que

Toute surface du second ordre peut être engendrée par une courbe du second degré S, se mouvant parallèlement à elle-même, de telle, sorte qu'un de ses diamètres D soit toujours inscrit dans une courbe fixe du même degré, et que le conjugué D’ varie avec D dans un rapport constant.

Réciproquement : Toute courbe du second degré assujettie à un mouvement de cette nature engendre une surface du second ordre.

En effet, prenons pour axe des z la droite que décrit le centre de la courbe mobile S, et qui est un diamètre de la courbe fixe S' : supposons en outre que l’axe des x et celui des y soient parallèles aux deux diamètres conjugués D et D\

La courbe S, restant toujours semblable à elle-même et parallèle au plan des xy, sera représentée par des équations de la forme

M*’+Ny’=Tj [G]>

dans lesquelles M et N sont des constantes, « ct T des paramètres variables avec la position du plan de la courbe.

La courbe directrice S' peut être supposée placée dans le plan des zx. L’axe des x est un de ses diamètres, elle conjugué est parallèle à l’axe des z. Les équations de cette courbe seront donc

Pour exprimer que les deux courbes se rencontrent, il faut éliminer x, y et z entre les équations [G] et [D], ce qui donne