GÉ0M. ANAL

Si mainlenant entre les équations [G] et cette dernière on élimine les paramètres variables a et T, on obtiendra une relation indépendante de toute position particulière de la génératrice et qui sera l’équation de la surface engendrée. On trouve ainsi

As'-f~V + Bz«-f2Cï=D,

équation d'une surface du second ordre, rapportée à deux plans diamétraux conjugués.

Remarque. Ce que nous venons de dire convient à toutes les surfaces du second ordre; mais on peut imaginer, pour les deux poraboloïdes, un mode de génération plus simple. Ces deux paraboloïdes sont compris dans l'équation

My*4-NV=2Ux,

et une section parallèle au plan des xy est représentée par les équations

; = a, My* = 2Ux — NV,

qui se rapportent à des paraboles égales dont les diamètres sont parallèles à l’axe des x. Les axes peuvent d’ailleurs être quelconques.

Donc, un paraboloïde peut être engendré par une parabole qui se meut parallèlement à elle-même, sans changer de grandeur, de manière qu’un de ses points parcoure une autre parabole fixe dont l’axe est parallèle au sien.

On démontrerait facilement la réciproque, savoir, que toute parabole assujettie à un jtareil mouvement engendre un paraboloide.

G2G. Théorème. Un liypcrboloide et son edne asymptote sont coupés par un même plan suivant des courbes semblables.

Si l’on rapporte l’hyperboloïde à trois diamètres conjugués, dont deux soient parallèles au plan sécant, l’équation de celte surface sera

2a, 2 b, 2 c désignant les longueurs des diamètres conjugués réels ou imaginaires, et le signe du second membre devant être -jdans le cas de l’hyperboloïdc à une nappe, et — dans le cas de l’hypci boloïde à deux nappes. L’équation du cône asymptote sera dans les deux cas

Or, en donnant à l’une des trois variables la même valeur constante dans les équations [H] cl [C], les équations résultantes représentent bien deux courbes semblables.

Remarque. Deux hyperboloïdes de même genre ou de genres différents, qui ont le même cône asymptote, sont coupés par un même plan suivant des courbes semblables.

Iî27. Sections circulaires. Si un plan coupe une surface du second ordre suivant un cercle C, tous les plans parallèles à celui-là couperont aussi la surface suivant des cercles C', C", C", etc., dont les centres se trouveront sur un diamètre E de cette surface. Imaginons par la droite E un plan P perpendiculaire aux plans des sections et coupant les cercles C, C, G' suivant les droites D, D’, D", etc. Toutes les cordes perpendiculaires à ces droites, dans les sections considérées, seront partagées par elles en deux parties égales, et comme ces cordes sont perpendiculaires au plan P, on en conclut que ce plan est un plan principal. On a donc ce théorème : •

Une section circulaire quelconque d'une surface du second ordre doit être dans un plan perpendiculaire à un plan principal.

Nous appellerons, avec M. Chasles, plans cycliques les plans qui, par leur intersection avec une surface du second ordre, donnent des sections circulaires.

Nous allons maintenant passer en revue les diverses surfaces du second ordre et chercher si elles possèdent des plans cycliques. D’après le théorème que nous venons de démontrer, il suffira de considérer les plans parallèles à l’un des axes principaux de la surface.

500 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. Soit d’abord un ellipsoïde