LE

et supposons a<6<c.

Par l’axe moyen, qui est ici l’axe des y, faisons passer un plan. La section obtenue sera une ellipse ayant pour axes 26, et un diamètre 2 d de l’ellipse principale qui a pour équations

/*il flrt

Or le diamètre 2 d varie entre 2a et 2c : il y aura donc une position à droite de l’axe des z et une symétrique à gauche, dans laquelle on aura 'id = 26, et où par conséquent la section sera un cercle.

Soit alors 0 l’angle que le diamètre 2 d fait avec la partie positive de l’axe des x\ 0 sera aussi l’angle du plan cyclique et du plan des xy. Soient x’ , s’ les coordonnées de l’extrémité de ce diamètre : on aura

puisque

x’ — bcos6, js' = 6 sin 0.

Si l’on porte ces valeurs dans l’équation [2], on aura 6* 6*

cos'O -}- sin* 6 = 1 = cos*6 -j-sin*0,

d'où l'on lire aisément

tang*9 =

tangô=±-y/ — ,

valeurs réelles, comme on devait s’y attendre.

On prouvera facilement qu’un plan mené par le grand axe ou par le plus petit ne peut donner de sections circulaires.

Soit maintenant un byperboloïde à une nappe

Supposons 6>a. Faisons passer un plan sécant par le plus grand des deux axes réels, c’est-à-dire par l’axe des y, et par un diamètre transverse 2 d de l’hyperbole principale représentée par les équations

La section sera une ellipse ayant pour axes 2 6 et 2 d.

Or ce diamètre 2ti, d’abord égal à 2a quand le plan considéré est couché sur le plan des xij, augmente constamment à mesure que le plan sécant se relève, et il finit par devenir égal à 2 6. Il augmente ensuite jusqu’à l’infini, devient imaginaire, puis redevient transverse et passe de l’infini à 0, en sorte qu’il devient de nouveau égal à 26. Par conséquent, il existe deux plans cycliques symétriquement placés par rapport au plan des sy et pas sant par l’axe des y.

En appelant 6 l'angle du plan cyclique et du plan des xy, on trouvera, comme dans le cas précédent,

tango =

et l’on verrait sans peine qu’aucun plan mené par l’axe des s ou par l’axe des x ne peut être un plan cyclique.

L’équation de l’hyperbololde à deux nappes peut être mise sous la forme

LHJ.

Il résulte de ce que nous avons dit (î»20, Rem.) que les sections faites par un même plan dans les surfaces H, et H, sont des courbes semblables, en supposant que les éléments principaux a, 6, c y aient les mêmes valeurs.

Donc la surface Hj possède également deux séries de plans cycliques parallèles aux plans cycliques de H(. Donc, si l’on observe que 2a et 26 sont les axes imaginaires de Ht, on pourra dire qu’il cxisle dans l'hyperbololde à deux nappes deux séries de plans cycliques parallèles au plus grand des deux axes imaginaires.

En considérant les paraboloïdes comme des limites des surfaces à centre (S 1 4), on trouvera que le paraboloïde elliptique a deux séries de plans cycliques perpendiculaires au plan de la parabole principale qui a le plus petit paramètre, et que le paraboloïde hyperbolique n’a aucun plan cyclique, ce qui s’accorde bien avec la nature de cette surface dont aucune section plane ne peut être une courbe fermée.

Ainsi, en résumé, toutes les surfaces du second ordre, à l’exception du paraboloïde hyperbolique, admettent deux séries de plans cycliques. 11 en résulte qu’on peut les engendrer par le mouvemeut de translation d’un cercle variable, dont un diamètre serait constamment inscrit dans une courbe du second degré.

Remarque. Les deux séries de plans cycliques sont parallèles à l’axe moyen dans l’ellipsoïde, au plus grand des axes réels dans l’byperboloïde à une nappe, au plus grand des axes imaginaires dans l’hyperbololde à deux nappes. On réduirait tous ces énoncés à un seul, si l’on convenait de ranger les axes réels ou imaginaires d’une surface à centre, d’après l’ordre de grandeur des inverses de leurs carrés, en regardant , suivant l’usage, une quantité négative comme étant d’autant plus petite que sa valeur absolue est plus grande. On pourrait dire, d’après cette convention, que dans les surfaces à centres les pla>is cycliques sont parallèles à taxe dont r inverse élevé au carré est moyen entre les carrés des inverses des deux autres axes.

S 3. SECTIONS RECTILIGNES DE l’hTPERBOLOÏDE A UNE NAPPE ET DU PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE.

828. L’objet principal de ce paragraphe est de démontrer que I’hypcrboloïde à uné nappe et le paraboloïde hyperbolique admettent deux systèmes de génératrices rectilignes.

<S29. (.<■ neraliices rectilignes de l'kyperbololdc ft une nappe.

Théorème. On peut, sur l'hyperboldide « me nappe, tracer deux droites par chacun de ses points.

L’équation

de rbypcrboloïdc à une nappe, étant mise sous la forme