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quelles que soient les valeurs attribuées à « et à fl. Or, en regardant * et p comme deux paramètres variables, fa] et [p] sont les équations de deux systèmes différents de lignes droites, situées sur l’hyperboloïde Hi.
Je dis maintenant que par chacun des points ( x y', s') del’hvperbolo'idc passe une droite du système [a] et une droite du système [pj. En effet, on a
ou
(H) (HH* +ï)(-t)
et il est évident qu’en prenant pour a et p les valeurs tirées des relations
les équations [a] et [p] seront celles de deux droites passant parle point donné (x', j /', z'). Il n’existe d’ailleurs qu’une seule droite de chaque système passant par le point donné, car les équations [1] étant du premier degré par rapport à a et à p, ne fournissent qu’une valeur pour chacune de ces inconnues, et les valeurs trouvées sont les mêmes que celles qu’on tire des équations suivantes :
qui résultent des équations [H,] et [1].
oîSO. Théorème. Deux droites d'un même système ne sont jamais dans un même plan.
Soient:
les équations de deux droites du système [a]. Pour que ces deux droites fussent dans un même plan, il faudrait que leurs équations pussent être satisfaites par un même système de valeurs de *> V> : i or, chacune des équations [»] n’est compatible avec l’équation [«'] correspondante que pour a=a'. Donc les deux droites considérées ne sont pas dans un même plan.
On démontrerait de la même manière que deux droites du système [p] ne son (jamais dans un même plan.
851. Théorème. Deux droites de systèmes- différents sont toujours dans un même plan.
En effet, si l’on élimine x, y et z entre les équations [p] et [»], on obtient la relation identique
Donc deux droites quelconques représentées par ces équations sont dans un môme plan ; ce qui démontre le théorème.
852. Théorème. Les droites représentées par les équations [a] et [p] sont les seules droites qu’on puisse tracer sur la surface de Chyperboloide à une nappe.
En effet, supposons qu’une droite D, située sur l’hyperboloïde, n’appartienne ni au système [a], ni au système [p]. Par un point quelconque de D, concevons une droite D' du système [a] (529) ; puis, par chacun des points de D, concevons des droites du système [p]; chacune de ces droites rencontrerait D' (851); et, par suite, elles seraient toutes dans un même plan, ce qui est impossible (850).
855. Théorème. Toutes les droites situées sur Vhyperboldide étant transportées au centre, parallèlement à elles-mêmes, s’appliquent exactement sur le cône asymptote.
En effet, les parallèles menées, par le centre de l’hypcrboloïde, aux droites représentées par les équations [«] et LP] , les seules que l’on puisse tracer sur cette surface, ont pour équations
ï î = Iî/ (
Or, en éliminant a entre les équations [a] et[l], ou p entre les équations [p] et [2], on trouve
équation du cône asymptote (505, rem. II). La proposition est donc démontrée.
334. Théorème. Trois droites situées suv Tliyperbolo'ide à une nappe ne sont jamais parallèles à un même plan.
Car, autrement, il y aurait trois génératrices du cône asymptote situées dans un même plan, ce qui est impossible, puisque ce cône est du second degré.
«>3o. Théorème. L'hyperboloide à une nappe peut être engendre par une droite qui glisse sur trois droites fixes, non situées deux à deux dans un même plan et non parallèles à un même plan.
En effet, soient D, l)', D" trois droites du système [«] ; par chaque point de l’une d’elles, deD par exemple, on peut mener une droite du système [p], et l’on n’en peut mener qu’une seule, qui rencontrera D' et D" (i»31). Les droites du système [p] peuvent donc être considérées comme les positions successives d’une droite mobile qui glisserait sur les droites D, D', D", et qui, dans son mouvement, engendrerait l’hyperboloide. A cause de cette propriété, les droites représentées par les équations [a] et [8] prennent le nom de génératrices de l’hyperboloide.
330. Théorème. Réciproquement, lorsqu'une droite glisse sur trois droites fixes, non situées deux à deux dans un mime plan, et non parallèles à un même plan, elle engendre un hyperboloide à utit nappe.
Soient D, D', D" (lig. 188) les trois droites données, non situées
ft
deux à deux dans un même plan et non parallèles à un môme plan. Concevons, par chacune de ces droites, deux plans respectivement parallèles aux deux autres; ces six plans formeront un parallélipipède. Prenons pour origine le centre de ce parallélipipède, pour axes des parallèles aux droites données, et désignons par 2 a, 2b, 2c les longueurs des arêtes du parallélipipède. Les droites données auront respectivement pour équations :
:zr) m-
Soient d’autre part
x—mz-\-p\ y=nz-\-q )
les équations de la génératrice. Pour que la les droites données, il faut qu'on ait :
droite [G] rencontre
— a — me
b = — ne -\-q
On aura donc l’équation de la surface demandée, en éliminant m, n, p c[ q entre les équations [G], [1], [2] et [3]; ce qui donne
ayz -f- bxz -f- ex y + abc = 0,
équation d’un hyperboloïde à une nappe, puisque la surface est du second degré, à centre unique et à génératrices rectilignes. Le théorème est donc démontré.
Remarque. L’hyperboloïde à deux nappes n’admet pas de sections rectilignes. En effet, remarquons d’abord qu’une droite qui a plus de deux points sur une surface du second ordre, doit y être contenue tout entière, puisque deux équations du premier degré et une équation du speond ne peuvent être satisfaites par plus de deux systèmes de valeurs, sans avoir toutes les solutions communes. Ainsi, une droite située sur l’hyperboloïde à deux nappes ne peut être en partie sur une nappe et en partie sur
l’autre, puisque les points placés entre les deux nappes seraient dans ce cas hors de la surface : elle ne pourrait pas d’avantage être tout entière sur une même nappe, puisqu'une section plane faite sur une seule nappe est évidemment une courbe fermée ou une parabole. Donc, l’hyperboloïde à deux nappes n’admet pas de sections rectilignes.
