PH
du paraboloïde hyperbolique peut être mise sous la forme
4+JÜ (JL-JÜ
Vp vV Wp y/q/
on voit alors qu’on y satisfait, soit en posant
avec
soit en posant avec
7v+tr*-*\
quelles que soient les valeurs que l’on donne à a et à p. Or en considérant a et p comme deux paramètres variables, [a] et [p] sont les équations de deux systèmes différents de droites situées sur le paraboloïde.
Nous disons maintenant que par un point ( x\ j/, z') du paraboloïde passe une droite de chaque système, et qu’il n’en passe qu’une seule. En effet, on a, par hypftlhèse,
SECTIONS RECTILIGNES DE L’HYPERBOLOlDE. 509
et il est évident qu’en prenant pour a et p les valeurs tirées des relations
VP \Q
les équations [a] et [p] seront celles de deux droites passant par le point donné.
Il n’existe pas sur le pnraboloïde d’autres droites passant par le point ( x y', z ) ; car a et p entrent au premier degré dans les équations [1] , et les valeurs de ces inconnues tirées des relations
v'p v'î X iL
2px'
sont les mômes que celles tirées de [l], puisque ces relations sont une conséquence des équations [PH] et [1].
558. Théorème. Deux droites d’un même système ne sont jamais dans un même plan.
En effet, si l’on considère les équations
et
v/P+v/ï 2aX
JL+-£=2.'s]
de deux droites du système [a] , on voit que la première et troisième ne peuvent être satisfaites par un même système de valeurs de x, y, z qu’autanl qu’on a a= et il en est de même
pour la seconde et la quatrième. Donc les deux droites considérées ne sont pas dans un môme plan.
Môme démonstration pour les droites du système p.
339. Théorème. Diux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.
Car en éliminante, y, 3 entre les équations [«] et [JJ], on obtient l’identité
ajl = pa
qui prouve que deux droites quelconques représentées par ces équations sont dans un même plan.
340. Théorème. Les droites représentées parles équations [a] et [p] sont les seules qu'on puisse tracer sur la surface duparaboloide hyper bolique.
Même démonstration qu’au n° 3 32.
Remarque. Le paraboloïde elliptique n’admet pas de sections rectilignes. Même démonstration qu’au n° 35C.
341. Théorème. Toutes les droites d'un même système sont parallèles à un même plan.
Considérons les droites du système [a], dont les équations sont :
Xr t /P
Les projections de ces droites sur le plan des yz sont évidemment parallèles; et il eu est de même des plans qni les projettent; donc les droites elles-mêmes sont parallèles à un même plan.
On démontrerait de la même manière que les droites du système [p] sont aussi parallèles à un même plan.
342. Théorème. Le parabokhde hyperbolique peut Ure engendré soit par une droite qui glisse en s'appuyant sur trois droites fixes
parallèles à un même plan ; soit par une droite qui glisse sur deux droites fixes en restant parallèle à un même plan.
1° Soient D, D', D" trois droites d’un même système, du système [«] par exemple. On peut , par chaque point de l’une de ces droites, mener une droite du système [p], qui rencontre les deux autres. Les droites du système [fl] peuvent donc être considérées comme les positions successives d’une même droite qui, dans son mouvement, rencontrerait toujours D, D’ D"; et, par suite , le paraboloïde hyperbolique peut être considéré comme engendré par le mouvement d’une droite qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan.
2° Considérons deux droites D et D’ du système [«]. Si, par chaque point de D, on conçoit une droite du système [fl], ces droites rencontreront D'; et, en outre, elles seront parallèles à un même plan (341). Donc le paraboloïde hyperbolique peut aussi être engendré par une droite qui glisse sur deux droites fixes en restant parallèle à un même plan.
343. Réciproquement 1° une droite qui glisse sur trois droites parallèles à un même plan engendre un paraboloïde hyperbolique; 2° une droite qui glisse sur deux droites fixes, et qui reste constamment parallèle à un même plan , engendre un paraboloïde hyperbolique-
1° Soient D, D’ et D" les trois droites données parallèles à un même plan. Prenons pour axe des s une droite qui rencontre les trois droites données, pour axe des x l’une des ces droites, D par exemple, et pour axe des y une parallèle à D’; la droite D" sera, par hypothèse, parallèle au plan ;des xy ; les droites données auront pour équations :
les équations de la génératrice. Pour que la droite [G] s’appuie sur les trois droites données, on devra avoir :
<7=0, mh-\-p=0, a(mk-\-p)=znk-{-q.
En éliminant p, q, m et n, entre ces équations et celles de la génératrice, on obtient l’équation de la surface demandée, savoir :
kyz — a (k— h) xz — khy =0.
Cette surface est du second degré et dépourvue de centre ; donc
c’est un paraboloïde hyperbolique, puisque le paraboloïde elliptique n'a pas de génératrices rectilignes.
2” Soient Pie plan directeur, et AC, A’C' (fig. 189) les deux droites données. Par le point O, milieu de CC', menons OB et Fîg. i89. OB' respectivement parallèles
aux droites données; et prenons pour axe des y, la droite CC' qui joint les traces de ces droites, pour axe des x, la trace du plan BOB' sur le plan P, et pour axe des z, la ligne qui joint le point O au milieu d’une parallèle BB' à OX. Les équations des deux directrices AC et A’C' seront :
y=b | x=az j
Les équations de la génératrice seront de la forme :
y—mx-\-q
Les conditions pour que la génératrice rencontre les directrices sont :
6=m<jp-t-ç,
b = map — q.
En éliminant m, p, q entre ces équations et celles de la géné-
ratrice, on obtient 9 = 0, et l’équation de la surface demandée est
yx = ~ax-
C'est encore l'équalion d’un paraboloïde hyperbolique, puisque la surface qu’elle représente est du second degré, privée de centre, et à génératrices rectilignes.
$41. Les équations des génératrices reclilignes de l’hyperloloïde à une nappe peuvent encore êlre présentées sous une autre forme qu’il peut être utile de connaître.
Soit [1]
l’équation de la surface. On peut d’abord écrire les équations d’une génératrice sous la forme
et, en substituant ces valeurs dans l’équation de la surface, on trouve que, pour qu’elle soit satisfaite indépendamment de z, on doit avoir
m*-j- n*= 1 [3], mp -|- nq =0 [4], p1 + 91 = 1 [5].
Pour : = 0, on a x=ap et y=bq, coordonnées d’un point de l’ellipse de gorge. Or, on sait qu’on a un point de cette ellipse en posant
a;=acos<p et y = b sin?
f étant un angle auxiliaire. On satisfera donc à la condition [5] en prenant
p=cosç et qr= sincp.
La relation [4] donne alors
m = — n tangtp;
GÉOM. anal. 33
514 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS, et, en substituant dans [3] on obtient
n*(l -h lang* <j>) = 1 ,
d’où n=dtcosîp,
et par suite wi=ipsin!p,
en ayant soin de prendre les signes supérieurs ensemble et les signes inférieurs ensemble. On aura donc les équations d’une première génératrice rectiligne en adoptant les signes supérieurs, ce qui donnera
j = — ~c sinç+cosç,
avec |=-f icos?+sin? [6],
et on aura les équations d’une seconde génératrice rectiligne passant par le môme poinl de la surface, en adoptant les signes inférieurs, ce qui doune
-=+ -sin? + cos
avec | = — ^cos<j>-}-sin? [7].
L’analyse précédente montre qu’on ne peut tracer que ces deux droites sur la surface par le point dont les coordonnées sont x,y,z.
On peut remarquer, comme moyen mnémonique que l’on passe du premier système nu second en changeant c en — c.
5455. Toutes les propriétés des génératrices rectilignes de l’hyperbolo'idc à une nappe se démontrent facilement à l’aide des équations [6] et [7].
Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de démontrer que la projection d’une génératrice sur le plan de l’ellipse de gorge est tangente à cette courbe; en éliminaut z entre les deux équations
SECTI OKS RECTILIGNES DE L’HYPERBOLOIDE. 515
d’une même génératrice, de l’un ou de l’autre système, on obtient également, pour l’équation de la projection considérée
fcos<p-j-|sinq>= 1; [8]
si on élève cette équation au carré, et qu'on la retranche membre à membre de l’équation de l’ellipse de gorge
on obtient 0 sin? — |cos? 'j = 0,
d’où
jsin? — cos? = 0
Or, les équations [8] et [9] ne donnent qu’un système de valeurs pour a: et y, donc la projection de la génératrice est tangente.
L’équation générale d'un plan passant par une génératrice du premier système est
(iï + isin‘f cosÿ) 4-^(|-^c°s?— sin?)=0.
Si ce plan passe par l’origine, son équation se réduit à ïsin?- fcc.,* ?=0;
ces formes peuvent être commodes pour la résolution de divers problèmes.
Exercices. I. Deux cercle s tracés sur une surface du second ordre et appartenant à deux systèmes de sections circulaires, appartiennent a une même sphère.
II. Prouver géométriquement que l’hyperboloide de révolution à une nappe est coupé par un plan suivant une courbe du second' de gré ayant ses foyers aux pointe de contact de deux sphères tangentes ou plan sécant et d la surface.
III. Les projection s des génératrices de l'hyperboloide <1 une nappe sur les plans principaux, sont tangentes aux sections principales de l’hyperboloide .
IV. Le lieu des points d’un hyperboloide tels que les génératrices qui y passent se coupent à angle droit, est l’intersection de la surface par une sphère concen-
rique.
V. Le lieu des points d'un paraboloide hyperbolique tels que les génératrices qui y passent sont perpendiculaires, est une hyperbole dont le plan est perpendiculaire au plan directeur du paraboloide.
