DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

$ 1. RÉDUCTION ET DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES PAR LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

84G. Considérations générale*. Nous nous proposons de donner, dans ce paragraphe, le moyen de reconnaître, à l'inspection d’une équation numérique, le genre de la surface qu’elle représente et ses éléments principaux. La solution de ce problème est fondée sur ce qui a été établi dans les chapitres V et VI.

On a vu que le genre de la surface dépend des signes des quantités L, M, N, coefficients des carrés des variables dans l’équation débarrassée des rectangles. D'un autre côté, L, M et N sont les racines d'une équation du troisième degré.

is-f Pi' + Qs-f R=0 [sJ,

que nous avons appris à former; et comme cette équation a toutes ses racines réelles , la règle de Descartes suffira pour indiquer, à première vue, le signe de chacune d’elles. La résolution de cette équation fera connaître les coefficients L, M, N. Résolvant ensuite les équations [A] et [a] du n* 489, on aura la direction des axes principaux.

Voici comment on conduira cette recherche.

347. Recherche préliminaire. A l’aide delà règle mnémonique très-simple donnée au n° 478, on formera la quantité R : si l’on trouve R ^0, on en conclura que la surface admet un centre. Si R = 0, la surface admet une infinité de centres ou en est totalement dépourvue.

348. Surface* a eentre unique . Si la surface admet un seul centre, on en calculera les coordonnées et l’on y transportera l’origine. Dans cette transformation, les termes du second degré ne changent pas, ceux du premier disparaissent, et le terme tout connu , passé dans le second membre, acquiert une valeur nou-

velle que nous désignerons par T. Alors, si T est supposé d’abord différent de 0, l’équation représentera

Un ellipsoïde réel, si les racines de l’équation [s] sont de môme signe que T ;

Un ellipsoïde imaginaire, si ces racines sont de signe contraire à T ;

Un hyperboloïde a une nappe, si deux racines sont de même signe que T, et la troisième de signe contraire ;

Un hyperboloïde a deux nappes , si deux racines sont de signe contraire à T, et la troisième de même signe.

Mais lorsque T = 0, l’équation représentera

Un point, si les trois racines de l’équation [s] sont de même signe;

Un cône, s’il y a au moins deux racines de signes contraires.