III. *5 + 6y* + 8*i — 4*y+2* + 4y

la surface est un cène, puisque, T étant nul, les racines de l'équation [s] ne sont pas toutes de même signe.

On arrive à la même conclusion en remarquant que l’équation proposée donne une valeur réelle de * pour toute valeur de z et de y.

IV. 5*! + 10y3+17*’ + 2Gy*+18*x+ 14xy + 6* + 8y + 10*+64 = 0 [ij,

K=0; donc la surface est dénuée de centre ou en admet une infinité : pour savoir lequel de ces deux cas a lieu, je furme les équations qui déterminent le centre

Sz+ 7y + 9* = — 31

Or, cm obtient la troisième en ajoutant les deux premières multipliées respectivement par — 1 et -f 2. Donc la surface est un cylindre.

Je transporte l'origine au point où la ligue des centres perce le plan des ary. Je trouve pour ce point

j’en conclus T = 66;

on a d'ailleurs P=— 32, 0=6 ,

l'équation [s] débarrassée de sa racine nulle est alors

elle donne s=16±5v^ïÔ;

et comme ces deux racines sont positives, j’en conclus que le cylindre est à base elliptique, puisque T est aussi positif. Son équation la plus simple est

(19 + 5v'ÏÔ)iJ+ (16 — 5v,ÏÔ!y*=66 [CEj.

V. Nous avons déjà donné dans le chapitre V, n'478, des exemples d'équations qui représentent deux plans parallèles; nous y renvoyons le lecteur.

VI. -f- 5y> + Sx’ + 4xy + 44» — 8xy + 6r + 6y — 34 = 0 , on trouve R=0. Les équations qui déterminent le centre sont

kx — 5y — 24= — 3 ! [Cl-

En ajoutant les deux dernières équations, on reproduit le premier membre de la première, mais le second est différent. Donc la première est incompatible avec les deux autres. La surface est donc du genre paraboloMe.

L'équation [s] est ici

Cette équation a ses deux racines positives; donc, la surface ne peut être qu’un paraboloïde elliptique.

En résolvant l'équation [»], on trouve que ses deux racines sont égales à 9; donc le paraboloïde est de révolution , et son équation la plus simple sera

9y> + 9a!=2Ux.

Pour trouver U, je change dans deux des équations [C] i en 1, y en m , et x et n . et je supprime le second membre, ce qui me donne

j’y joins

on tire de là

par conséquent,

donc

L'équation la plus simple de la surface est donc

Si54. Exemples de discussion d'éqnatlona littérales. I. L’ exemple suivant a été donné en composition à l’examen écrit pour l'admission à l’École polytechnique (1861).

Soit

aæ’-f-fci/,-j-cz,-}-2as(/+ 2bzx-\-2cz — 1 =0.

On remarque d’abord que la surface représentée par cette équation est rapportée à son centre ; pour savoir si elle n’aurait pas une infinité de centres, formons la fonction R ; il vient

R=a,-f-è,-f-c’ — 3 abc.

Cette fonction s’annule quand on y fait o= — (b -f- c), donc elle est divisible par a -f b +c ; et, en effectuant la division, on trouve qu’elle peut être mise sous la forme

R = i (a + 6 + c) [(a - b)' +(a-cY+(b- e)*] .

Donc, pour que la surface puisse avoir plusieurs centres, il faut que l’on ait

ou a + 6-f’c = 0 ou (a — 6)*+(a— — c)*=0.

Lorsque la seconde égalité a lieu, il en résulte a—b=c, de sorte que l’équation proposée se réduit alors à

c’est-à-dire qu’elle représente deux plans parallèles.

L’équation en s est

s* — (a+è-f-cjj' — (ab -f- ae + be — a* — V— c*)i-}-R = 0.

Posons

ab + ac bc - a* — b' — e = 5 [(a — b)' + (a — c)* +(b— cf\ — B’,

et remarquons que l’on a R=AB*; il vient

B*i+AB*=0.

Or, cette équation est vérifiée par s = A, et par suite ses trois racines sont A, B et — B.

Donc l’équation de la surlace proposée rapportée à ses plans principaux est

A®*+By*— Bz*=l,

Les coefficients de y ’ et de z’ étant nécessairement de signes contraires, cette équation ne peut jamais représenter un ellipsoïde. Les différentes hypothèses à faire sur A ou a c, sont

A > 0, A <0 ou A = 0.

Dans le premier cas l’équation proposée représente un hyperboloïde à une nappe.

Dans le second un hypcrbolmde à deux nappes. Dans le troisième un cylindre hyperbolique dont la base est une hyperbole iquilalère, les axes étant rectangulaires.

Il se peut que la surface soit de révolution ; or nous savons qu’il faut pour cela que l’équation en s, ait deux racines égales (406). Nous devons donc avoir

A=±B ou A* = B*, t’.ette dernière égalité revient à la suivante

«&-(-ac4-6c = 0 ou - + ^+-=0.

Telle est la condition pour que la surface représentée par l’équation proposée soit de révolution.