DISCUSSION PROPREMENT DITE

Centre non'L>0, M>0, N>0, Ellipsoïde réel, situé sur la\l.<C0> M<0, N<0, Ellipsoïde imaginaire. Surfaces\ surface, |L>0, M>0, N<0, Hyperboloïde à une nappe.

T>0. L>0, M<0, N<0, Hyperboloïde à deux nappes

Centre situé ( L’ V1, N n ont pas le i Cône surlasurface mêmc s,Sne’ »

T=0. L’.M,Nomlemôme> Point.

centre

inique

signe.

iurfaces qui ont ne infinité de centres R = 0,

Enlignedroi- \ le: les équa-1 itions [C] se/ réduisent àj deux.

iT>0

J Sur un plan:/ Iles équations \ f [C] se rédui-< sent à une/ seule.

Surfaces /Unedeséqua-I |ui ont Itions [C] esll n centre j incompatible) l’infini ) avec l’ensem-] \ — 0, f ble des deuxl ., = O. \ autres.

Cylindre elliptique.

Une droite.

Cylindre imaginaire.

Une droite.

Cylindre hyperbolique.

Deux plans qui se coupent.

Deux plans parallèles.

Un seul plan.

Deux plans imaginaires.

Un seul plan.

Paraboloïde elliptique.

Paraboloïde hyperbolique.

Cylindre parabolique.

§ 2. AUTRES MÉTHODES POUR DISCUTER LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES.

SÎJ6. La méthode exposée dans le paragraphe précédent ne laisse rien h désirer lorsqu’on veut déterminer, outre le genre de la surface, ses éléments principaux et sa position par rapport aux axes coordonnés. Mais si le genre de la surface est le seul objet que l’on ait en vue de découvrir, on pourra employer, pour abréger, l'une ou l’autre des deux méthodes suivantes.

Ü57. Première méthode. Celte méthode est fondée sur certaines transformations algébriques du premier membre de l’équation de la surface proposée (égalé à 0), et sur le lemme suivant :

Lemme. Soient

les équations de trois plans qui se coupent en un point. Si Con prend ces trois plans pour plans coordonnés, savoir le premier pour plan des y'z’, le second pour plan des x’z’ et le troisième pour plan des xV, les équations de ces plans se réduiront respectivement à

Ix' — O, niy' = 0, ns' — 0,

I, m et n étant des constantes.

En effet, l’équation du plan des y'z1 étant x' = 0, si dans l’équation X = 0 l’on remplace x, y et s par leurs valeurs en fonction des nouvelles coordonnées xf, y', z', l’équation ainsi obtenue ne doit différer de x' que par un facteur constant; elle sera donc de la forme lx' = 0. Par la même raison, les équations \'=0 et Z=0 se réduiront à la forme my’— 0 etnz' = 0; ce qui démontre le lemme énoncé.

B58. Pour avoir l’expression des valeurs des constantes l, m, n, imaginons que par un point quelconque M, l’on mène MQ parallèle à l’axe des x' et MP perpendiculaire au plan X = 0 ; si l’équation de ce plan est de la forme Ax-f-By-f Cx-j-D = 0, et si les premiers axes sont rectangulaires, nous aurons

y p Ax-j-By-f- Cz-{-D

D’un autre côté, si nous désignons par a l’angle des deux droites MP et MQ, angle qui est le même pour toutes les positions du point M, nous aurons aussi

MP = ±x' COS a,

d’où l = V/A,-j-D*-)-C’.cosa.

On prendra le signe + ou le signe — , suivant que le point M sera d’un côté ou de l’autre du plan X=0.

On obtiendrait de même les valeurs de m et n.

SS9. Considérons maintenant l’équation

kx'+ k’y'+ A"s* + 2B;j/ + Wzx + 2B "xy -f 2Cx

Les transformations que nous avons à faire subir à son premier membre sont fondées sur les deux identités suivantes :

1 6* axr -|-2èa;-|-c=-(aa;-f-6/-(-c — — ,

<u:,-f-2ba;-f'c= &)* — H,

co 1 1

Dans la première de ces identités, H désigne une quantité indépendante de x qui peut être positive, négative ou nulle, et la quantité entre parenthèses est la moitié de la dérivée du premier membre par rapport à x. Dans la seconde identité, p et q désignent des quantités quelconques.

Cela posé, il y a deux cas principaux à considérer :

SCO. Premier cas. Les carrés des variables ne manquent pas à la fois. Soit A 5^0.

Ordonnons le premier membre de l’équation [1] par rapport à x, et considérons ce premier membre comme un trinôme en x-, GÉOM. ANAL. 34

en vertu de l’identité [2], l’équation [1] peut se mettre sous la forme

-j- (Aa; + B'z + B"t/ + C)’-f aj/*+ a'a’-f- 2 byz -f 2ci/ + îc’z -f f= 0 .

Alors il se peut que a et a' ne soient pas nuis à la fois et que l'on ait, par exemple, a^O. Par une transformation semblable à la précédente, le polynôme

ay ' + a'z’ + 2ti/; + 2fy-f- 2 c’s + f [4]

peut s’écrire

' - {ay-\-bz-\-c)*-\-aiz%-\-iblz-\-fl »

et pour a, ^ 0, on a de même

fliZ -f- 26,z -{- f, — — (a, s -f- b,)* — IP,

donc l’équation [1] pourra définitivement prendre la forme

\ {kx + B’ z + B "y + C)* + \ {ay + +<>)• + I (a,î + &,)* = H,

ou bien, en désignant par X, Y et Z trois fondions linéaires des variables, sous la suivante :

^-X*+iY*+iz,=H • [A].

Dans le cas où Ton aurai! a, = 0, l’équation [1] deviendrait |(A* + B"; + B "y + C)’ + ^ {ay 4 - te + c)* + 26,-- + f= 0 ou bien

X*+iY*+ -Z=0 [B],

DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES DU SECOND DEGRÉ. 53! S'il arrive que l’on ait a = 0 et a' = 0, le polynoinc [4] devient

. 2 bys + 2 cy -}- 2 c’z-\-f=^ (2 by 4- 2 c") (*bz + 2c) — II,

II désignant une constante qui pont être nulle. Or, en vertu de l’identité [3], le produit (26ÿ + 20 (26s -f 2c) peut être remplacé par une différence de carrés; donc l’équation [1] peut prendre la forme [A].

Si l'on avait en même temps a = 0, a' = 0, b = 0, le polynôme [4] se réduirait à 2ry 4* et l’équation [1] prendrait une

forme comprise dans [B], en y supposant Y nul.

SOI. Deuxième cas. Soient A = A' = A"=0. Dans ce cas, les rectangles des variables ne sont pas nuis à la fois. Soit B 5^0.

L’équation [1] se réduit à

2By; -j* 2B'ju5 4- 2B"o ry 4- 2&c 4~ 2C’»/ 4- 2C*’r 4- F = 0 [5]

et peut s’écrire

^ (2 B? 4- 2 B"* 4- 2 C’) (2 By 4- 2 B’x 4- 20’) ■

les quantités placées entre les premières parenthèses étant les dérivées par rapport à y et par rapport à z du premier membre de l'équation.

Soit B B"^0. Le produit indiqué parles parenthèses pourra être remplacé par la différence de deux carrés, en vertu de l’identité [3], et le trinôme en te qui est en dehors des parenthèses pourra èlrc remplacé par la somme d’un carré et d’une quantité constante, en vertu de l’identité [2]. L’équation [5] pourra donc se ramener à la forme [A].

Si B’B"= 0, on retombe sur la forme [B],

Quels que soient les cas particuliers, on arrivera toujours à mettre l’équation numérique proposée sous une forme qui ren-

trcra dans les formes [A] ou [B], en admettant que Y et Z puissent être identiquement nuis; et alors on connaîtra le genre de la surface qu’elle représente en opérant de la manière suivante.

On prend pour plans coordonnés les plans représentés par les équations

en vertu du lemme, les équations [A] et [B] deviennent respectivement :

^V«+JmV*+^nV*=H [1]

et j|^+Imy*+in*' = 0 [U].

Supposons qu’on ait l’équation [1]; il se présentera les cas suivants :

1° Les trois coefficients A, a et a„ sont de même signe que H. Dans ce cas, l’équation [IJ représente un ellipsoïde réel rapporté à un système de diamètres conjugués.

2“ Les trois coefficients A, a et a, sont de signe contraire à H. Dans ce cas, l’équation proposée représente un ellipsoïde imaginaire.

Dans les deux cas, si H est nul, l’équation ne représente qu’un point.

3" Deux des coefficients sont de même signe que H et le troisième de signe contraire. Dans ce cas, l’équation [1] représente un hyperboluïde à une nappe.

4° Deux coefficients sont de signe contraire à H. Dans ce cas, l’équation [I] représente un hyperboloïde à deux nappes.

Dans les deux derniers cas, si H est nul, l’équation représente un cône.

Ou discuterait de la même manière l’équalion [II].

362. Remarques. I. Dans le cas où Z serait identiquement nul, l’équation proposée se réduirait à

Ix* + lY*=H;

alors on choisirait pour plans coordonnés les plans X=0 et

Y = 0, et un troisième plan quelconque coupant les deux premiers; l’équation prendrait la forme

et l’on voit qu’elle représente : un cylindre elliptique si les deux coefficients A et « sont de môme signe que II; un cylindre hyperbolique si les deux coefficients sont, l’un de môme signe que II, l’autre de signe contraire.

Enfin, si Y et Z étaient identiquement nuis, l’équation se réduirait à

et représenterait deux plans parallèles.

II. Ce qui précède suppose que les trois plans X=0, Y=0,Z=0, se coupent en un point; c’est ce qui a toujours lieu quand on opère la transformation comme nous venons de l’indiquer.

Mais on peut former arbitrairement, ou l’on peut rencontrer, à la suite d’un autre calcul, des équations de la forme [A] ou [B] dans lesquelles cette condition ne soit pas remplie. Il est aisé de voir qu’alors l'équation proposée représente toujours un cylindre ou l’une des variétés du cylindre, soit que les plans X = 0,

Y = 0, Z = 0 se coupent suivant une môme droite, soit qu'ils se confondent ou qu’ils soient parallèles. En effet, si les trois plans se coupent suivant une même droite, l’une des équations devant être une conséquence des deux autres, on aura, par exemple,

Z = «X + pY.

Si les trois plans ne se coupent pas, alors, ou bien l’intersection des deux premiers plans sera parallèle au troisième, et on aura

Z=aX+pY+Y,

ou bien les trois plans seront parallèles, et on aura Z = «X-H, Y = pX-f k'.

Dans les deux premiers cas, l’équation proposée sera une fonction de X et Y, et dans le Iroisiéme une fonction de X seulement. Supposons que l'on ait /"(X, Y)=0; prenons pour plans coordonnés les deux plans X = 0, Y=0, et un troisième plan quelconque coupant les deux premiers; l’équation de la surface deviendra

mrj) = 0 ,

laquelle représente un cylindre dont les génératrices sont parallèle» à l'intersection des plans X = 0 et Y = 0.

Si l’on avait f(\) = 0, en prenant pour plans coordonnés le plan X=0 et deux autres plans quelconques qui se coupent entre eux et qui coupent le premier, l’équation de la suiface se îéduirail à

f(lx') = 0,

et représenterait deux plans parallèles au plan X = 0, c’est-àdire une variété du cylindre.

III. Lorsque l’équation proposée représentera un hyperboloïde à une nappe ou un paraboloidc hyperbolique, on obtiendra les équations des génératrices eu décomposant en facteurs l'équation de la surface, comme il a été indiqué dans le § 3 du chapitre précédent, après qu’on l’aura mise sous la forme [A] ou [11].

Essayons d’éclaircir ce qui précède par quelques exemples.